Para cada espaço vetorial V, determine se o subconjunto S dado é um subespaço vetorial.
V=M2 times 2(R) e S=[lla & b c & d] in M2 times 2(R) rvert, a d <= b c.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
é subespaço de .
Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial, isto é, checar que
  1. o vetor zero pertence a ,
  2. é fechado sob multiplicação por escalar,
  3. é fechado sob adição.

Passo 2

Verificamos o elemento neutro aditivo (a matriz zero).
0 = 0&00&0 Longrightarrow ad = 0cdot0 = 0,;;bc = 0cdot0 = 0,
logo ad<= bc vale ( 0<=0), então 0in S.

Passo 3

Fechamento sob escalar. Seja e
, isto é, .
Então
como preserva a desigualdade. Portanto .

Passo 4

Fechamento sob adição. Para ser subespaço, toda soma de dois elementos de S deve ficar em S. Vamos dar um contraexemplo:
M = 1&00&0, N = 0&00&1
Em M temos ad=1cdot0=0<=0=0cdot0=bc, logo Min S.
Em N temos ad=0cdot1=0<=0=0cdot0=bc, logo Nin S.
Mas
M+N = 1&00&1,
para o qual
ad = 1cdot1 = 1 e bc = 0cdot0 = 0,
então ad<= bc falha ( 1<=0 é falso). Assim M+Nnotin S, mostrando que não há fechamento sob adição.

Resposta

O conjunto S não é subespaço vetorial de M2times2(R).

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