Para cada espaço vetorial
, determine se o subconjunto
dado é um subespaço vetorial.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
.
Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial, isto é, checar que
Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial, isto é, checar que
- o vetor zero pertence a
, -
é fechado sob multiplicação por escalar, -
é fechado sob adição.
Passo 2
Verificamos o elemento neutro aditivo (a matriz zero).
logo
ad<= bc vale (
0<=0 ), então
0in S .
Passo 3
Fechamento sob escalar. Seja
e
, isto é, .
Então
, isto é,
Então
como
preserva a desigualdade. Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob adição. Para ser subespaço, toda soma de dois elementos de
S deve ficar em
S . Vamos dar um contraexemplo:
Em
M temos
ad=1cdot0=0<=0=0cdot0=bc , logo
Min S .
EmN temos
ad=0cdot1=0<=0=0cdot0=bc , logo
Nin S .
Mas
Em
Mas
para o qual
então
ad<= bc falha (
1<=0 é falso). Assim
M+Nnotin S , mostrando que não há fechamento sob adição.
Resposta
O conjunto
S não é subespaço vetorial de
M2times2(R) .