Para cada espaço vetorial V, determine se o subconjunto S dado é um subespaço vetorial.
V=P2[x] e S=p(x) in P2[x] mid p(x)=a x^2+c.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V=P2[x], que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. O subconjunto é
S = lp(x)in P2[x]mid p(x)=a,x^2+cr
Para mostrar que S é subespaço vetorial de V, precisamos verificar:
  1. 0in S.
  2. S é fechado sob soma.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio nulo está em S. O polinômio nulo é 0(x)=0, que pode ser escrito como
0(x)=0cdot x^2+0
logo com a=0 e c=0. Portanto 0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja p(x)=a,x^2+c e q(x)=b,x^2+d dois elementos de S. Então
p(x)+q(x) = (a+b),x^2 + (c+d),
que é um polinômio da forma a',x^2+c' com a'=a+b e c'=c+d. Logo p+qin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambda um escalar qualquer e p(x)=a,x^2+cin S. Então
lambda,p(x) = (lambda a),x^2 + (lambda c),
que também é da forma a',x^2+c' com a'=lambda a e c'=lambda c. Logo lambda pin S.

Resposta

S é um subespaço vetorial de P2[x].

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