Para cada espaço vetorial
, determine se o subconjunto
dado é um subespaço vetorial.
e
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. O subconjunto é
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar:
-
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio nulo está em
. O polinômio nulo é
, que pode ser escrito como
logo com
e
. Portanto
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
e
dois elementos de
. Então
que é um polinômio da forma
com
e
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
. Então
que também é da forma
com
e
. Logo
.