Para cada espaço vetorial V, determine se o subconjunto S dado é um subespaço vetorial.
V=P2[x] e S=p(x) in P2[x] mid p(x)=a x^2 b x+c, com a+b+c=0.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial V = P2[x] (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
S = l,p(x)=a x^2+b x+c in P2[x]mid a + b + c = 0r
Queremos ver se S é subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar o teste padrão de subespaço:
1) verificar se o polinômio zero está em S,
2) verificar fechamento sob soma,
3) verificar fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o polinômio zero pertence a S.
O polinômio zero em P2[x] é 0(x)=0, que pode ser escrito com a=0, b=0, c=0. Então
a + b + c = 0 + 0 + 0 = 0,
logo 0(x)in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Sejam p(x)=a1x^2+b1x+c1 e q(x)=a2x^2+b2x+c2 em S. Então
a1+b1+c1=0 e a2+b2+c2=0
A soma é
p(x)+q(x)=(a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2)
e a soma dos coeficientes dá
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2) =(a1+b1+c1)+(a2+b2+c2) =0+0=0
Logo p+qin S.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja p(x)=a x^2+b x+cin S e lambdainK. Considere
lambda,p(x)=(lambda a)x^2+(lambda b)x+(lambda c)
A soma dos coeficientes é
lambda a+lambda b+lambda c =lambda,(a+b+c) =lambdacdot 0 =0,
portanto lambda pin S.

Passo 5

Como S contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de P2[x].

Resposta

S é subespaço vetorial de V=P2[x].

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