Para cada espaço vetorial
, determine se o subconjunto
dado é um subespaço vetorial.
e
, com
.
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e o subconjunto
Queremos ver se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o teste padrão de subespaço:
) verificar se o polinômio zero está em
,
) verificar fechamento sob soma,
) verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o polinômio zero pertence a
.
O polinômio zero em é
, que pode ser escrito com
,
,
. Então
O polinômio zero em
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma.
Sejam e
em
. Então
Sejam
A soma é
e a soma dos coeficientes dá
Logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja e
. Considere
Seja
A soma dos coeficientes é
portanto
.
Passo 5
Como
contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.