Sejam T1: P2 P3 e T2: P3 P3 os operadores lineares dados pelas fórmulas
T1(p(x))=x p(x) e T2(p(x))=p(x+1)
Encontre fórmulas para T1^-1(p(x)), T2^-1(p(x)) e (T2 circ T1)^-1(p(x)).

Passo 1

O enunciado define os operadores lineares
T1colon P2to P3, T1(p(x))=x,p(x),
T2colon P3to P3, T2(p(x))=p(x+1),
e pede as fórmulas de T1^-1, T2^-1 e (T2circ T1)^-1. Vamos usar as propriedades de inversão de operadores: para T1, inverter “multiplicar por x” e, para T2, inverter o “shift” de +1. Finalmente, (T2circ T1)^-1=T1^-1circ T2^-1.

Passo 2

Para inverter T1(p(x))=x,p(x) devemos “dividir por x”. Como T1 envia P2 no subespaço de P3 cujos polinômios são divisíveis por x, a inversa atua por
T1^-1(q(x))=q(x)x

Passo 3

Para inverter T2(p(x))=p(x+1) basta fazer a substituição inversa, isto é, trocar x por x-1. Assim,
T2^-1(q(x))=q(x-1)

Passo 4

Como (T2circ T1)^-1=T1^-1circ T2^-1, aplicamos primeiro T2^-1 e depois T1^-1. Dado q(x),
T2^-1(q(x))=q(x-1), T1^-1l(q(x-1)r)=q(x-1)x
Logo,
(T2circ T1)^-1(q(x))=q(x-1)x

Resposta

T1^-1(p(x))=p(x)x
T2^-1(p(x))=p(x-1)
(T2circ T1)^-1(p(x))=p(x-1)x

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