Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=[ccca & 2 a & 0 0 & a-b & -2 c c & 0 & 3 b] in M(3,3) rvert, a, b, c in R

Passo 1

O enunciado define o subespaço Vsubset M(3,3) formado pelas matrizes da forma
a & 2a & 0 0 & a-b & -2c c & 0 & 3b ,
com a,b,cinR. O conteúdo aqui é espaço vetorial, subespaço, base e dimensão. Para resolver, vamos escrever um elemento genérico de V em função de a,b,c e extrair uma combinação linear de matrizes independentes.

Passo 2

Denotemos por M(a,b,c) a matriz genérica de V:
M(a,b,c) = a & 2a & 0 0 & a-b & -2c c & 0 & 3b
Agrupando os termos que multiplicam a, b e c, obtemos
M(a,b,c) = a 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 + b 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3 + c 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 1 & 0 & 0

Passo 3

Definimos as três matrizes
M1 = 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , M2 = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3 , M3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 1 & 0 & 0
Assim
M(a,b,c) = a,M1 ;+; b,M2 ;+; c,M3

Passo 4

Para ver que M1,M2,M3 é base de V, notamos que a escrita acima é única: se
alpha M1 + beta M2 + gamma M3 = 03times3,
comparando entradas obtemos alpha=beta=gamma=0. Logo são linearmente independentes e geram todo V.

Resposta

Uma base de V é
1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , ; 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3 , ; 0 & 0 & 0 0 & 0 & -2 1 & 0 & 0 ,
e a dimensão de V é 3.

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