Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=(a, 0,2 b,-a, 0) in R^5 mid a, b in R

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = (a,0,2b,-a,0)inR^5 mid a,binR,
que é um subespaço de R^5. O conteúdo aqui é parametrizar V em função de a e b, depois extrair vetores geradores e verificar independência linear para formar uma base e, em seguida, determinar a dimensão.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico de V como função de a e b:
(a,0,2b,-a,0)
Agora agrupamos os termos em a e em b.

Passo 3

Fatorando em e , obtemos
Isso mostra que

Passo 4

Para verificar independência linear, consideremos
alpha,(1,0,0,-1,0) ;+;beta,(0,0,2,0,0) = (0,0,0,0,0)
As coordenadas dão o sistema
alpha = 0, 2beta = 0, -alpha = 0,
logo alpha=0 e beta=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como (1,0,0,-1,0),(0,0,2,0,0) gera V e é linearmente independente, é uma base de V. O número de vetores na base é 2, logo
dim(V) = 2

Resposta

Uma possível base é
(1,0,0,-1,0),;(0,0,1,0,0)
e dim(V)=2.

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