Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=(-a, b, 2 c, a,-b) in R^4 mid a, b, c in R

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
V subseteq R^5
composto por todos os vetores da forma
(-a,,b,,2c,,a,,-b)
com a,b,cinR.
O objetivo é encontrar um conjunto de vetores que gere V (base) e calcular a sua dimensão. Para isso, vamos parametrizar um vetor genérico de V e extrair os vetores geradores.

Passo 2

Observe que o vetor genérico de V pode ser escrito como combinação linear de três vetores fixos. De fato,
(-a,,b,,2c,,a,,-b) = a,(-1,0,0,1,0);+;b,(0,1,0,0,-1);+;c,(0,0,2,0,0)
Isso mostra que
,(-1,0,0,1,0),,(0,1,0,0,-1),,(0,0,2,0,0)
é um sistema gerador de V.

Passo 3

Para checar se esses três vetores formam de fato uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes. Considere
alpha,(-1,0,0,1,0) +beta,(0,1,0,0,-1) +gamma,(0,0,2,0,0) =(0,0,0,0,0)
Isso gera o sistema de equações
-alpha = 0, beta = 0, 2gamma = 0, alpha = 0, -beta = 0
Da primeira e quarta equação vem alpha=0, da segunda e quinta vem beta=0, e da terceira vem gamma=0. Logo, os coeficientes só podem ser nulos, provando a independência linear.

Passo 4

Como temos três vetores independentes que geram V, concluímos que esse conjunto é uma base de V e que
dim(V) = 3

Resposta

Uma base de V é
,(-1,0,0,1,0),;(0,1,0,0,-1),;(0,0,2,0,0),
e dim(V)=3.

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