Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
composto por todos os vetores da forma
com .
O objetivo é encontrar um conjunto de vetores que gere (base) e calcular a sua dimensão. Para isso, vamos parametrizar um vetor genérico de e extrair os vetores geradores.
Passo 2
Observe que o vetor genérico de pode ser escrito como combinação linear de três vetores fixos. De fato,
Isso mostra que
é um sistema gerador de .
Passo 3
Para checar se esses três vetores formam de fato uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes. Considere
Isso gera o sistema de equações
Da primeira e quarta equação vem alpha=0, da segunda e quinta vem beta=0, e da terceira vem gamma=0. Logo, os coeficientes só podem ser nulos, provando a independência linear.
Passo 4
Como temos três vetores independentes que geram V, concluímos que esse conjunto é uma base de V e que