Seja
matriz em
. Mostre que:
(a) As matrizes
e
são simétricas,
(b) A matriz
é antissimétrica,
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
(a) As matrizes
(b) A matriz
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
Passo 1
O enunciado nos pede para trabalhar com transposta de matrizes e verificar propriedades de simetria. Lembrando que uma matriz
é dita simétrica se
e antissimétrica (ou skew-simétrica) se
Vamos usar as propriedades de transposta:
-
. -
para escalar real . -
.
Passo 2
Mostrar que
é simétrica.
Calculemos a transposta:
Calculemos a transposta:
Como
, concluímos que
é simétrica.
Passo 3
Mostrar que
e
são simétricas.
Primeiro,
Primeiro,
logo
é simétrica. Em seguida, escalando por
,
portanto
também é simétrica.
Passo 4
Mostrar que
é antissimétrica.
Calculemos a transposta:
Calculemos a transposta:
Como
, a matriz é antissimétrica.
Passo 5
Exibir a decomposição de
em parte simétrica e antissimétrica.
Observe que
Observe que
Definindo
temos
simétrica,
antissimétrica e
Resposta
(a)
,
e
são simétricas.
(b) é antissimétrica.
(c) A decomposição
(b)
(c) A decomposição
mostra que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma parte simétrica e uma antissimétrica.