Seja A matriz em Mn(R). Mostre que:
(a) As matrizes A A^T, A+A^t e 12(A+A^T) são simétricas,
(b) A matriz 12(A-A^T) é antissimétrica,
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado nos pede para trabalhar com transposta de matrizes e verificar propriedades de simetria. Lembrando que uma matriz M é dita simétrica se
M^T = M
e antissimétrica (ou skew-simétrica) se
M^T = -,M
Vamos usar as propriedades de transposta:
  1. (X+Y)^T = X^T + Y^T.
  2. (cX)^T = c,X^T para escalar real c.
  3. (XY)^T = Y^TX^T.

Passo 2

Mostrar que AA^T é simétrica.
Calculemos a transposta:
(AA^T)^T = l(A^Tr)^T ,A^T = A,A^T
Como (AA^T)^T = AA^T, concluímos que AA^T é simétrica.

Passo 3

Mostrar que A + A^T e tfrac12(A + A^T) são simétricas.
Primeiro,
(A + A^T)^T = A^T + l(A^Tr)^T = A^T + A = A + A^T,
logo A + A^T é simétrica. Em seguida, escalando por tfrac12,
l(tfrac12(A + A^T)r)^T = tfrac12,(A + A^T)^T = tfrac12,(A + A^T),
portanto tfrac12(A + A^T) também é simétrica.

Passo 4

Mostrar que tfrac12(A - A^T) é antissimétrica.
Calculemos a transposta:
l(tfrac12(A - A^T)r)^T = tfrac12,(A - A^T)^T = tfrac12l(A^T - (A^T)^Tr) = tfrac12,(A^T - A) = -,tfrac12,(A - A^T)
Como l(tfrac12(A - A^T)r)^T = -tfrac12(A - A^T), a matriz é antissimétrica.

Passo 5

Exibir a decomposição de A em parte simétrica e antissimétrica.
Observe que
tfrac12(A + A^T) + tfrac12(A - A^T) = tfrac12l((A + A^T) + (A - A^T)r) = tfrac12(2A) = A
Definindo
S = tfrac12(A + A^T), K = tfrac12(A - A^T),
temos S simétrica, K antissimétrica e
A = S + K

Resposta

(a) AA^T, A + A^T e tfrac12(A + A^T) são simétricas.
(b) tfrac12(A - A^T) é antissimétrica.
(c) A decomposição
A = underbracetfrac12(A + A^T)simétrica + underbracetfrac12(A - A^T)antissimétrica éé
mostra que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma parte simétrica e uma antissimétrica.

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