Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
é uma matriz antisimétrica
Passo 1
O enunciado pede o espaço vetorial
que é o conjunto de todas as matrizes antissimétricas
. Nosso objetivo é encontrar uma base de
e, a partir dela, determinar a dimensão de
. Para isso, vamos usar conceitos de subespaço, descrição de graus de liberdade em matrizes e construção de base canônica.
Passo 2
Mostramos primeiro que toda matriz
satisfaz
para todo
, pois da condição
segue
Além disso, para
os elementos
são livres, e os
são obrigatoriamente
. Logo, cada par
com
corresponde a um grau de liberdade.
Passo 3
Para explorar esses graus de liberdade, definimos para cada par
a matriz
onde
é a matriz que tem
na posição
e
em todos os outros lugares. Note que
ou seja,
. Esses elementos são independentes e geram todo
, pois qualquer
pode ser escrito como combinação linear
Passo 4
O número de pares
com
é
Esse é o número de matrizes da família
, logo elas formam uma base de
e a dimensão de
é
Resposta
Uma base de
é
e