Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=B in M(n, n) mid B é uma matriz antisimétrica

Passo 1

O enunciado pede o espaço vetorial
V = B in M(n,n)mid B^T = -B,
que é o conjunto de todas as matrizes antissimétricas ntimes n. Nosso objetivo é encontrar uma base de V e, a partir dela, determinar a dimensão de V. Para isso, vamos usar conceitos de subespaço, descrição de graus de liberdade em matrizes e construção de base canônica.

Passo 2

Mostramos primeiro que toda matriz B=(bij)in V satisfaz bii=0 para todo i, pois da condição B^T=-B segue
bii = (B)ii = -(B^T)ii = -bii Longrightarrow bii=0
Além disso, para i<j os elementos bij são livres, e os bji são obrigatoriamente bji=-bij. Logo, cada par (i,j) com 1<= i<j<= n corresponde a um grau de liberdade.

Passo 3

Para explorar esses graus de liberdade, definimos para cada par i<j a matriz
A^(i,j) = Eij - Eji,
onde Eij é a matriz que tem 1 na posição (i,j) e 0 em todos os outros lugares. Note que
l(A^(i,j)r)^T = Eji - Eij = -l(Eij-Ejir) = -A^(i,j),
ou seja, A^(i,j)in V. Esses elementos são independentes e geram todo V, pois qualquer Bin V pode ser escrito como combinação linear
B = sum1<= i<j<= n bij,l(Eij-Ejir)

Passo 4

O número de pares (i,j) com 1<= i<j<= n é
binomn2 = n(n-1)2
Esse é o número de matrizes da família A^(i,j):1<= i<j<= n, logo elas formam uma base de V e a dimensão de V é
dim V = n(n-1)2

Resposta

Uma base de V é
,Eij-Ejimid 1<= i<j<= n,
e
dim V = n(n-1)2

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