Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=B in M(n, n) mid B é uma matriz simétrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra linear sobre espaços vetoriais. O objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço V que consiste em todas as matrizes simétricas n times n , ou seja, matrizes onde B = B^T . Além disso, precisamos determinar a dimensão desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica, como construir uma base para esse espaço e como calcular sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz B é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, B = B^T . Isso significa que o elemento na posição (i, j) é igual ao elemento na posição (j, i) para todos os i e j .

Passo 3

Agora, para encontrar uma base de V , precisamos identificar um conjunto de matrizes simétricas que são linearmente independentes e que geram todo o espaço V . Vamos construir essas matrizes de forma que cada uma tenha apenas um elemento não nulo na posição (i, j) e (j, i) , já que B = B^T .

Passo 4

Vamos considerar duas situações:
  1. Diagonalização: Para os elementos na diagonal da matriz (ou seja, onde i = j ), cada posição pode ter um valor independente. Então, para cada posição (i, i) , podemos ter uma matriz com 1 nessa posição e 0 nas outras.
  2. Fora da diagonal: Para os elementos fora da diagonal (onde i neq j ), cada par (i, j) e (j, i) deve ser igual. Então, para cada par (i, j) com i < j , podemos ter uma matriz com 1 nas posições (i, j) e (j, i) , e 0 nas outras.

Passo 5

Com isso, a base de V será composta por:
  • Matrizes com 1 na posição (i, i) e 0 nas demais posições, para cada i = 1, 2, dots, n .
  • Matrizes com 1 nas posições (i, j) e (j, i) e 0 nas demais, para cada 1 <= i < j <= n .
Isso garante que todas as matrizes simétricas possam ser expressas como combinações lineares dessas matrizes base.

Passo 6

Agora, para determinar a dimensão de V , contamos quantas matrizes existem na nossa base:
  • n matrizes para os elementos da diagonal.
  • Para os elementos fora da diagonal, o número de pares (i, j) com i < j é dado por n(n - 1)2 .
Então, a dimensão de V é:
dim(V) = n + n(n - 1)2 = n(n + 1)2

Resposta

Uma base para V é composta por n(n + 1)2 matrizes simétricas, e a dimensão de V é n(n + 1)2 .

Exercícios relacionados