Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
é uma matriz simétrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra linear sobre espaços vetoriais. O objetivo aqui é encontrar uma base para o espaço
que consiste em todas as matrizes simétricas
, ou seja, matrizes onde
. Além disso, precisamos determinar a dimensão desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica, como construir uma base para esse espaço e como calcular sua dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que o elemento na posição
é igual ao elemento na posição
para todos os
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base de
, precisamos identificar um conjunto de matrizes simétricas que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Vamos construir essas matrizes de forma que cada uma tenha apenas um elemento não nulo na posição
e
, já que
.
Passo 4
Vamos considerar duas situações:
-
Diagonalização: Para os elementos na diagonal da matriz (ou seja, onde
), cada posição pode ter um valor independente. Então, para cada posição , podemos ter uma matriz com 1 nessa posição e 0 nas outras. -
Fora da diagonal: Para os elementos fora da diagonal (onde
), cada par e deve ser igual. Então, para cada par com , podemos ter uma matriz com 1 nas posições e , e 0 nas outras.
Passo 5
Com isso, a base de
será composta por:
- Matrizes com 1 na posição
e 0 nas demais posições, para cada . - Matrizes com 1 nas posições
e e 0 nas demais, para cada .
Isso garante que todas as matrizes simétricas possam ser expressas como combinações lineares dessas matrizes base.
Passo 6
Agora, para determinar a dimensão de
, contamos quantas matrizes existem na nossa base:
- Há
matrizes para os elementos da diagonal. - Para os elementos fora da diagonal, o número de pares
com é dado por .
Então, a dimensão de
é:
Resposta
Uma base para
é composta por
matrizes simétricas, e a dimensão de
é
.