Considere as matrizes A=[ll0 & 1 1 & 0] e I=[ll1 & 0 0 & 1]. Defina A^0=I e A^n=A^n-1 A, para todo número natural n >= 1. Mostre que: A^2 n=I e A^2 n+1=A, para todo natural n.
17. Determine o número real m de modo que a matriz M=[cc-1 & 0 0 & m] seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado trata de duas coisas:
1. Calcular potências da matriz
A = 0 & 1[6pt]1 & 0
mostrando que para todo ninN vale
A^2n=I e A^2n+1=A
Aqui vamos usar multiplicação de matrizes e a propriedade de potências (A^2)^n = A^2n.
2. Encontrar minR tal que
M = -1 & 0[4pt]0 & m
seja ortogonal, ou seja, satisfaça M^T M = I.]

Passo 2

Calculamos diretamente
A^2 ;=; Acdot A ;=; 0&11&0 0&11&0 = 1&00&1 = I

Passo 3

Como A^2=I, temos para todo n>=1:
A^2n = (A^2)^n = I^n = I,
e
A^2n+1 = A^2n,A = Icdot A = A

Passo 4

Para M ser ortogonal, impomos
M^T M = I
Como M é diagonal, temos
M^T = -1&00&m, M^T M = (-1)^2&00&m^2 = 1&00&m^2
Igualando a I=1&00&1, obtemos
m^2 = 1 Longrightarrow m = pm 1

Resposta

A^2n=I, A^2n+1=A para todo ninN
e
m=1 ou m=-1.

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