Sejam
subespaços vetoriais de
. Determine a dimensão de
e uma base para esse subespaço vetorial. A soma de
e
é direta?
Passo 1
O enunciado define
e
.
Queremos a dimensão de , uma base e verificar se a soma é direta. Para isso precisamos achar bases de
e
, calcular
e usar
Queremos a dimensão de
Passo 2
Para
temos as duas equações
e
. Logo
e um vetor genérico é
Assim
e uma base é
Passo 3
Para
temos a única equação
, então
e
Logo
e uma base é
Passo 4
Para achar
resolvemos simultaneamente
Substituindo
e
em
dá
, logo
,
e
livre. Assim
então
.
Passo 5
Pela fórmula de dimensão da soma,
Como
tem dimensão 4, concluímos
.
Passo 6
Uma base para
é, por exemplo, a base canônica
Passo 7
A soma é direta se e somente se
. Aqui
, logo a soma não é direta.
Resposta
Dimensão de
:
.
Uma base: .
A soma não é direta.
Uma base:
A soma não é direta.