Sejam
S1 & =(x, y, z, w) in R^4 mid x+y=0, z-w=0, S2 & =(x, y, z, w) in R^4 mid x-y-z+w=0,
subespaços vetoriais de R^4. Determine a dimensão de S1+S2 e uma base para esse subespaço vetorial. A soma de S1 e S2 é direta?

Passo 1

O enunciado define
S1=(x,y,z,w)inR^4mid x+y=0, z-w=0 e
S2=(x,y,z,w)inR^4mid x-y-z+w=0.
Queremos a dimensão de S1+S2, uma base e verificar se a soma é direta. Para isso precisamos achar bases de S1 e S2, calcular dim(S1cap S2) e usar
dim(S1+S2)=dim S1+dim S2-dim(S1cap S2)

Passo 2

Para S1 temos as duas equações x+y=0 e z-w=0. Logo
x=-y, z=w
e um vetor genérico é
(x,y,z,w)=(-y,y,w,w)=y(-1,1,0,0)+w(0,0,1,1)
Assim
dim S1=2 e uma base é
(-1,1,0,0),,(0,0,1,1)

Passo 3

Para S2 temos a única equação x-y-z+w=0, então
x=y+z-w
e
(x,y,z,w)=(y+z-w,y,z,w) =y(1,1,0,0)+z(1,0,1,0)+w(-1,0,0,1)
Logo
dim S2=3 e uma base é
(1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(-1,0,0,1)

Passo 4

Para achar S1cap S2 resolvemos simultaneamente
x=-y, z=w, x-y-z+w=0
Substituindo x=-y e z=w em x-y-z+w=0 -y - y - w + w = -2y=0, logo y=0, x=0 e z=w livre. Assim
S1cap S2=(0,0,z,z)=span(0,0,1,1),
então dim(S1cap S2)=1.

Passo 5

Pela fórmula de dimensão da soma,
dim(S1+S2) =dim S1+dim S2-dim(S1cap S2) =2+3-1=4
Como R^4 tem dimensão 4, concluímos S1+S2=R^4.

Passo 6

Uma base para S1+S2=R^4 é, por exemplo, a base canônica
(1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)

Passo 7

A soma é direta se e somente se S1cap S2=0. Aqui dim(S1cap S2)=1neq0, logo a soma não é direta.

Resposta

Dimensão de S1+S2: 4.
Uma base: (1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1).
A soma não é direta.

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