Mostre o seguinte:
Para todo
inteiro positivo, temos que:
Para todo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço de todas as matrizes
, denotado
, é a soma direta dos subespaços de matrizes simétricas e de matrizes antissimétricas. Vamos usar que para ser soma direta basta provar dois fatos:
- Qualquer
é soma de uma matriz simétrica e de uma antissimétrica (ou seja, a soma dos subespaços é todo ). - A interseção desses dois subespaços é apenas a matriz zero (ou seja, a soma é direta).
Passo 2
Definimos, para uma dada matriz
, as matrizes
Vamos verificar que
é simétrica e
é antissimétrica, e que
.
Passo 3
Verificação de simetria e antissimetria:
logo
é simétrica.
logo
é antissimétrica.
Além disso,
Além disso,
mostrando que todo
se decompõe em parte simétrica mais parte antissimétrica.
Passo 4
Agora precisamos ver que a interseção dos dois subespaços é só
. Se
é ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica, então
implicam
, ou seja
e portanto
. Logo não há outra matriz além de zero na interseção.
Resposta
Como toda matriz em
se escreve de modo único como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica, e esses subespaços só têm interseção trivial, concluímos