Mostre o seguinte:
Para todo n inteiro positivo, temos que:
matrizes simétricas oplus matrizes antisimétricas =M(n, n) éé

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço de todas as matrizes ntimes n, denotado M(n,n), é a soma direta dos subespaços de matrizes simétricas e de matrizes antissimétricas. Vamos usar que para ser soma direta basta provar dois fatos:
  1. Qualquer Ain M(n,n) é soma de uma matriz simétrica e de uma antissimétrica (ou seja, a soma dos subespaços é todo M(n,n)).
  2. A interseção desses dois subespaços é apenas a matriz zero (ou seja, a soma é direta).

Passo 2

Definimos, para uma dada matriz Ain M(n,n), as matrizes
S = tfrac12l(A + A^Tr) e K = tfrac12l(A - A^Tr)
Vamos verificar que S é simétrica e K é antissimétrica, e que A = S + K.

Passo 3

Verificação de simetria e antissimetria:
S^T = l(tfrac12(A + A^T)r)^T = tfrac12l(A^T + (A^T)^Tr) = tfrac12l(A^T + Ar) = S,
logo S é simétrica.
K^T = l(tfrac12(A - A^T)r)^T = tfrac12l(A^T - (A^T)^Tr) = tfrac12l(A^T - Ar) = -tfrac12l(A - A^Tr) = -K,
logo K é antissimétrica.
Além disso,
S + K = tfrac12(A + A^T) + tfrac12(A - A^T) = A,
mostrando que todo A se decompõe em parte simétrica mais parte antissimétrica.

Passo 4

Agora precisamos ver que a interseção dos dois subespaços é só 0. Se X é ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica, então
X^T = X e X^T = -X
implicam X = -X, ou seja 2X = 0 e portanto X=0. Logo não há outra matriz além de zero na interseção.

Resposta

Como toda matriz em M(n,n) se escreve de modo único como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica, e esses subespaços só têm interseção trivial, concluímos
matrizes simétricas;oplus;matrizes antissimétricas = M(n,n) éé

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