Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=B in M(n, n) mid B é uma matriz triangular inferior

Passo 1

O enunciado define Vsubset M(n,n) como o conjunto das matrizes triangulares inferiores. Precisamos encontrar uma base de V e determinar sua dimensão. Para isso, vamos expressar genericamente um elemento de V e identificar as matrizes canônicas que geram esse espaço.

Passo 2

Seja B=(bij)in V. A condição de triangular inferior implica
forall,i<j:;bij=0
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B= b11&0&0&cdots&0 b21&b22&0&cdots&0 vdots&vdots&ddots&ddots&vdots bn1&bn2&cdots&bn,n-1&bnn

Passo 3

Definimos as matrizes canônicas Eij com entrada 1 na posição (i,j) e 0 nas demais. O conjunto
Eijmid 1<= j<= i<= n
gera V pois qualquer Bin V se escreve como
B=sumi=1^nsumj=1^i bijEij,
e é linearmente independente já que cada Eij tem posição única com 1.

Passo 4

A dimensão de V é o número de matrizes da base, ou seja o número de pares (i,j) com 1<= j<= i<= n:
sumi=1^n i = n(n+1)2

Resposta

A base de V é Eijmid 1<= j<= i<= n e
dim(V)=n(n+1)2

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