Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão. é uma matriz diagonal
Passo 1
O enunciado define
ou seja, todas as matrizes quadradas de ordem cujos elementos fora da diagonal principal são zero. Queremos encontrar uma base de e, a partir dela, determinar . Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear, independência e geração em espaços vetoriais.
Passo 2
Observamos que uma matriz diagonal tem forma
Podemos escrever
B = b11E11 + b22E22 + cdots + bnnEnn,
onde Eii é a matriz com 1 na posição (i,i) e zeros em todas as outras entradas. Assim, todo elemento de V é combinação linear dos n vetores E11,E22,dots,Enn. Além disso, esses vetores são linearmente independentes, pois nenhuma combinação
alpha1E11 + alpha2E22 + cdots + alphanEnn = 0
pode ser nula sem que todos os alphai sejam zero (basta olhar a entrada (i,i) em cada Eii). Logo,
E11,E22,dots,Enn
é uma base de V.
Passo 3
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer de suas bases. Como encontramos uma base com n elementos, concluímos que