Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
V=B in M(n, n) mid B é uma matriz diagonal

Passo 1

O enunciado define
V = B in M(n,n)mid B é uma matriz diagonal é
ou seja, todas as matrizes quadradas de ordem n cujos elementos fora da diagonal principal são zero. Queremos encontrar uma base de V e, a partir dela, determinar dim V. Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear, independência e geração em espaços vetoriais.

Passo 2

Observamos que uma matriz diagonal B tem forma
B = b11 & 0 & cdots & 0 0 & b22 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & bnn
Podemos escrever
B = b11E11 + b22E22 + cdots + bnnEnn,
onde Eii é a matriz com 1 na posição (i,i) e zeros em todas as outras entradas. Assim, todo elemento de V é combinação linear dos n vetores E11,E22,dots,Enn. Além disso, esses vetores são linearmente independentes, pois nenhuma combinação
alpha1E11 + alpha2E22 + cdots + alphanEnn = 0
pode ser nula sem que todos os alphai sejam zero (basta olhar a entrada (i,i) em cada Eii). Logo,
E11,E22,dots,Enn
é uma base de V.

Passo 3

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer de suas bases. Como encontramos uma base com n elementos, concluímos que
dim V = n

Resposta

Uma base de V é
E11,,E22,,dots,,Enn,
e dim V = n.

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