Para cada um dos espaços vetoriais abaixo, com operações usuais, descreva o vetor nulo.
b) P3

Passo 1

O enunciado pede para descrever o vetor nulo em P3, que é o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau no máximo 3, com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar. Para isso, vamos usar a definição de vetor nulo: é aquele elemento que, somado a qualquer vetor do espaço, deixa-o inalterado.

Passo 2

Seja um polinômio genérico em P3 dado por
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d,
com a,b,c,dinR. Procuramos um polinômio z(x) tal que, para todo p(x),
p(x)+z(x)=p(x)
Escrevendo z(x)=alpha x^3+beta x^2+gamma x+de<a e impondo
(a x^3+b x^2+c x+d)+(alpha x^3+beta x^2+gamma x+de<a) = a x^3+b x^2+c x+d,
vemos que é necessário
alpha=beta=gamma=de<a=0.

Resposta

O vetor nulo de P3 é o polinômio nulo
0(x)=0cdot x^3+0cdot x^2+0cdot x+0

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