Determine se os seguintes operadores do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
T(x, y, z)=(x, 0, z);

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^3 to R^3 por
T(x,y,z) = (x,0,z)
Queremos classificar T como idempotente (se T^2=T), nilpotente (se existe k tal que T^k=0) ou nenhuma das duas.

Passo 2

Relembremos as definições:
T é idempotente se
T^2 = T,
ou seja, para todo vinR^3, T(T(v)) = T(v).
T é nilpotente se existe inteiro k>=1 tal que
T^k = 0,
isto é, para todo v, T^k(v)=0.

Passo 3

Calculemos T^2(x,y,z)=Tl(T(x,y,z)r). Primeiro
T(x,y,z) = (x,0,z)
Então
T^2(x,y,z) = T(x,0,z) = (x,0,z)
Logo, para todo (x,y,z), T^2(x,y,z) = (x,0,z) = T(x,y,z). Portanto
T^2 = T
e T é idempotente.

Passo 4

Verifiquemos se T pode ser nilpotente. Se T fosse nilpotente, deveríamos ter T^k=0 para algum k. Mas já vimos que T^2=T, logo para todo k>=1,
T^k = T
Como Tneq0 (por exemplo T(1,1,1)=(1,0,1)neq(0,0,0)), não existe k com T^k=0.

Resposta

O operador T é idempotente e não é nilpotente.

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