Determine se os seguintes operadores do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
;
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
Queremos classificar
como idempotente (se
), nilpotente (se existe
tal que
) ou nenhuma das duas.
Passo 2
Relembremos as definições:
– é idempotente se
–
ou seja, para todo
,
.
– é nilpotente se existe inteiro
tal que
–
isto é, para todo
,
.
Passo 3
Calculemos
. Primeiro
Então
Logo, para todo
,
. Portanto
e
é idempotente.
Passo 4
Verifiquemos se
pode ser nilpotente. Se
fosse nilpotente, deveríamos ter
para algum
. Mas já vimos que
, logo para todo
,
Como
(por exemplo
), não existe
com
.
Resposta
O operador
é idempotente e não é nilpotente.