Considere os conjuntos
e
. O conjunto
é subespaço vetorial de
? Interprete
conjunto
geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos em
:
, que é uma reta passando pela origem (subespaço), e
, que é uma reta deslocada de modo que não passa pela origem.
Queremos estudar
Queremos estudar
e verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos expressar um elemento genérico de
e ver se ele forma um espaço linear.
Passo 2
Tomemos
e
. Então um vetor arbitrário em
é
Agrupando os termos em
, obtemos
Como
varia em
, também
varia em
. Logo
o que mostra que
Passo 3
Para ver a outra inclusão, note que dado qualquer vetor
em
, podemos escrevê-lo como
isto é, escolhemos
e
para obter um somatório de algo em
com algo em
. Assim
Com isto concluímos
ou seja,
é o subespaço vetorial gerado pelos vetores
e
.
Passo 4
Uma vez que
equivale a
, ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Portanto
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim. Geometricamente,
é o plano que passa pela origem e é gerado pelos vetores
e
.