Considere os conjuntos W1=u in R^3 mid u=(0,0,0)+t(1,2,3), forall t in R e W2=u in R^3 mid u= (1,1,1)+t(1,1,1), forall t in R. O conjunto W=W1+W2 é subespaço vetorial de R^3 ? Interprete circ conjunto W geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos em R^3:
W1=,u=t(1,2,3)mid tinR, que é uma reta passando pela origem (subespaço), e
W2=,v=(1,1,1)+s(1,1,1)mid sinR, que é uma reta deslocada de modo que não passa pela origem.
Queremos estudar
W=W1+W2 =,u+vmid uinW1,,vinW2
e verificar se W é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos expressar um elemento genérico de W e ver se ele forma um espaço linear.

Passo 2

Tomemos u=t(1,2,3)inW1 e v=(1,1,1)+s(1,1,1)inW2. Então um vetor arbitrário em W é
w=u+v =t(1,2,3)+(1,1,1)+s(1,1,1)
Agrupando os termos em (1,1,1), obtemos
w =(1,1,1)+t(1,2,3)+s(1,1,1) =t(1,2,3)+(1+s),(1,1,1)
Como s varia em R, também c=1+s varia em R. Logo
w =t(1,2,3)+c(1,1,1), t,cinR,
o que mostra que
W ;subseteq; span(1,2,3),(1,1,1)

Passo 3

Para ver a outra inclusão, note que dado qualquer vetor
alpha(1,2,3)+beta(1,1,1) em span(1,2,3),(1,1,1), podemos escrevê-lo como
alpha(1,2,3)+beta(1,1,1) =alpha(1,2,3)+l[(1,1,1)+(beta-1)(1,1,1)r],
isto é, escolhemos t=alpha e s=beta-1 para obter um somatório de algo em W1 com algo em W2. Assim
span(1,2,3),(1,1,1) ;subseteq; W
Com isto concluímos
W =span(1,2,3),(1,1,1),
ou seja, W é o subespaço vetorial gerado pelos vetores (1,2,3) e (1,1,1).

Passo 4

Uma vez que W equivale a span(1,2,3),(1,1,1), ele é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Portanto W é um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

Sim. Geometricamente, W é o plano que passa pela origem e é gerado pelos vetores (1,2,3) e (1,1,1).

Exercícios relacionados