Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3= (-10,18,7) ?
a) (10,-2,5)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3), v3=(-10,18,7)
e pergunta se o vetor
w=(10,-2,5)
é combinação linear de v1,v2,v3. O conteúdo aqui é “combinação linear” e vamos precisar achar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=w

Passo 2

Primeiro é útil notar que v3 já é combinação de v1 e v2. De fato, calculemos
-2,v1+3,v2 =-2,(5,-3,1)+3,(0,4,3) =(-10,6,-2)+(0,12,9) =(-10,18,7)=v3
Isso mostra que spanv1,v2,v3=spanv1,v2. Basta então achar alpha,beta tais que
alpha v1+beta v2=w
e tomar gamma=0.

Passo 3

Escrevemos o sistema para
Da primeira equação vem de .

Passo 4

Concluímos que
w=2,v1+1,v2+0,v3,
logo w é combinação linear de v1,v2,v3.

Resposta

Sim. De fato,
(10,-2,5)=2,v1+1,v2+0,v3

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