Considere a cônica
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
com b neq 0. Seja 0^circ<theta<90^circ. A transformação linear A: R^2 R^2, dada por
A(x^prime, y^prime)=(x^prime cos theta-y^prime sen theta, x^prime sen theta+y^prime cos theta)=(x, y)
corresponde com uma rotação de ângulo theta entre os sistemas (x^prime, y^prime) e (x, y).
Determine theta na equação b^prime=0, quando a=c.

Passo 1

O enunciado considera a cônica
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0,
e faz a rotação do sistema de coordenadas
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta,
de modo a obter novos coeficientes (a',b',c',dots). Pede-se escolher theta tal que b'=0, no caso especial a=c.

Passo 2

A fórmula geral para o coeficiente misto após rotação é
b' = (c - a),sin2theta + b,cos2theta
Ela vem de substituir x,y em termos de x',y' e coletar o termo em x'y'.

Passo 3

Como estamos no caso a=c, temos c - a = 0. Então a expressão de b' simplifica para
b' = b,cos2theta

Passo 4

Para eliminar o termo misto basta b'=0. Como bneq0, impõe-se
cos2theta = 0
Daí
2theta = pi2 + kpi Longrightarrow theta = pi4 + kpi2
No intervalo 0^circ<theta<90^circ (ou 0<theta<tfracpi2) só cabe
theta = tfracpi4.

Resposta

theta = 45^circ.

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