1. Em cada um dos exemplos abaixo, escreva matematicamente a função representada pelo texto, conforme exemplo no item a). Em todos os itens, utilize R como contradomínio.
    a) A função que a cada número real associa o seu quadrado.
Solução: f: R \rightarrow R dada por f(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever matematicamente a função descrita pelo texto: “A função que a cada número real associa o seu quadrado.” Informações dadas:
  • O domínio indicado é o conjunto dos números reais: R.
  • O contradomínio deve ser R.
  • A regra da função é: a cada x\in R associa-se x^2.

Passo 2

Explicando a notação de função usada aqui. Quando escrevemos
f: R \to R
isso significa que f é uma aplicação cujo domínio é R e o contradomínio também é R. A regra da função descreve como obter a imagem de um elemento x do domínio: escreveremos a regra como
f(x)=x^{2}.
Isto quer dizer: pegue x, multiplique-o por si mesmo e esse produto é f(x).

Passo 3

Mostro alguns exemplos numéricos para fixar a ideia (úteis na prova para checar compreensão):
  • f(2)=2^{2}=4.
  • f(-3)=(-3)^{2}=9.
  • f(0)=0^{2}=0.
    Esses exemplos mostram que o quadrado de um número real é sempre um número real.

Passo 4

Outra forma compacta de escrever a função é usando a seta que mapeia elementos:
f: R \to R,\qquad x \mapsto x^{2}.
A expressão x\mapsto x^{2} lê-se “x é mapeado para x ao quadrado” e é muito prática para resposta direta em prova.

Passo 5

Algumas observações que podem cair em questões relacionadas (úteis para provas):
  • A imagem (conjunto de valores realmente atingidos) de f é o conjunto dos reais não negativos: \{y\in R \mid y\ge 0\}. Note que isso é um subconjunto de R, logo f não é sobrejetora quando o contradomínio é todo R.
  • A função não é injetora, porque f(a)=f(-a) para a\neq 0 (por exemplo f(2)=f(-2)=4).
  • Geometricamente, o gráfico de f é uma parábola com vértice em (0,0) que se abre para cima.

Resposta

f: R \rightarrow R dada por f(x)=x^{2}

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