1. Em cada um dos exemplos abaixo, escreva matematicamente a função representada pelo texto, conforme exemplo no item a). Em todos os itens, utilize R como contradomínio.
    c) A função que a cada número natural associa a raiz quadrada do seu módulo.

Passo 1

O enunciado pede para transformar em uma definição matemática a frase: “A função que a cada número natural associa a raiz quadrada do seu módulo”. Informações dadas:
  • Domínio: cada “número natural”, isto é, n\in\mathbb{N}.
  • Contradomínio: utilizar \mathbb{R} (foi pedido explicitamente).
  • Regra da função: a cada n associa-se a “raiz quadrada do seu módulo” — ou seja, o valor é \sqrt{|n|}.

Passo 2

Entender o símbolo |\cdot|\) (módulo ou valor absoluto). Definição simples e prática: \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
No nosso caso o argumento do módulo é um número natural n\], e todo natural é \(\ge 0. Logo, para n\in\mathbb{N} vale |n|=n. Isso significa que, embora o enunciado peça “módulo”, na prática não muda o valor quando o domínio é \mathbb{N}.]

Passo 3

Entender o símbolo \sqrt{\cdot} (raiz quadrada principal). A raiz quadrada principal de um número real não negativo x é o único número real não negativo cuja quadrado é x. Formalmente:
\text{se } x\ge 0,\quad y=\sqrt{x}\quad\Longleftrightarrow\quad y\ge 0 \text{ e } y^2 = x.
Portanto \sqrt{|n|} é um número real não negativo para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Simplificação específica ao problema: como concluímos no Passo 2, para n\in\mathbb{N} tem-se |n|=n. Assim a fórmula \sqrt{|n|} pode ser escrita simplesmente como \sqrt{n} quando o domínio é \mathbb{N}. Mas manter |n| respeita literalidade do enunciado.

Passo 5

Escrever a função de forma matemática, com domínio e contradomínio explícitos e a regra de associação. Também comentar rapidamente sobre a imagem (conjunto de valores realmente atingidos): para n\in\mathbb{N} a imagem é um subconjunto de \mathbb{R}_{\ge 0} (números reais não negativos), pois \sqrt{|n|}\ge 0.

Passo 6

Dar alguns exemplos concretos para fixar:
  • Para n=0: \sqrt{|0|}=\sqrt{0}=0.
  • Para n=1: \sqrt{|1|}=\sqrt{1}=1.
  • Para n=4: \sqrt{|4|}=\sqrt{4}=2.
  • Para n=5: \sqrt{|5|}=\sqrt{5} (um número irracional positivo).
    Esses exemplos mostram como aplicar a regra na hora da prova: pegar o n e calcular \sqrt{|n|}.

Resposta

f:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\qquad f(n)=\sqrt{|n|}\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

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