\int_{0}^{2} \int_{0}^{3}(2 x+3 y+1) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}(2x+3y+1)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites internos (para y) são y=0 a y=3.
  • Os limites externos (para x) são x=0 a x=2.
  • A função a ser integrada é um polinômio em x e y: 2x+3y+1.
  • A ordem de integração é primeiro em y (com x tratado como constante) e depois em x.
    A tarefa é calcular o valor numérico desse integral iterado.

Passo 2

Estratégia: vamos calcular primeiro a integral interna em y,
\int_{0}^{3}(2x+3y+1)\,dy,
tratando x como constante porque estamos integrando em relação a y. Depois integraremos o resultado em x de 0 a 2.

Passo 3

Revisão rápida das regras de integração usadas aqui:
  • Se a é constante (não depende de y), então \int a\,dy = a y.
  • \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
  • \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
    Aplicando termo a termo ao integrando 2x+3y+1:
  • \int 2x\,dy = 2x\cdot y (porque 2x é constante em relação a y),
  • \int 3y\,dy = 3\cdot \dfrac{y^{2}}{2} = \dfrac{3}{2}y^{2},
  • \int 1\,dy = y.
    Portanto uma primitiva em y é
2x\,y + \frac{3}{2}y^{2} + y.

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva entre y=0 e y=3:
\left[2x\,y + \frac{3}{2}y^{2} + y\right]_{y=0}^{y=3}.
Calculando em y=3:
2x\cdot 3 + \frac{3}{2}\cdot 3^{2} + 3.
Calculando em y=0 0. Logo o valor da integral interna é
6x + \frac{27}{2} + 3.

Passo 5

Simplificamos os termos constantes:
\frac{27}{2} + 3 = \frac{27}{2} + \frac{6}{2} = \frac{33}{2}.
Portanto a integral interna reduz-se a uma função de x:
6x + \frac{33}{2}.
Agora calculamos a integral externa
\int_{0}^{2}\left(6x + \frac{33}{2}\right)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo em x:
  • \int 6x\,dx = 6\cdot \dfrac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.
  • \int \dfrac{33}{2}\,dx = \dfrac{33}{2}\,x.
    Uma primitiva é
3x^{2} + \frac{33}{2}x.
Avaliando entre x=0 e x=2 obtemos
\left[3x^{2} + \frac{33}{2}x\right]_{0}^{2} = 3\cdot 2^{2} + \frac{33}{2}\cdot 2 - 0 = 12 + 33.

Passo 7

Somando os termos finais temos 12 + 33, que é o valor da integral dupla. Força aí — você conseguiu chegar até aqui, é só conferir o número final.

Resposta

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