Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função f(x)=x^2 no intervalo [0,1] usando uma soma superior com 8 retângulos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área sob o gráfico de f(x)=x^2 em [0,1] usando uma soma superior com 8 retângulos. O conteúdo é soma de Riemann para funções crescentes, em que o supremo de f em cada subintervalo ocorre na extremidade direita.

Passo 2

Dividimos [0,1] em 8 subintervalos iguais. Cada subintervalo tem comprimento
De<a x = 1-08 = 18
Num esboço, teríamos a parábola y=x^2 e, em cada intervalo l[xi-1,xir] com xi=tfraci8, um retângulo de base De<a x e altura f(xi), tocando a curva no ponto direito de cada subintervalo.

Passo 3

Como f'(x)=2x>=0 em [0,1], f é crescente ali, logo o valor máximo de f em l[xi-1,xir] é
max[xi-1,xi]f = f(xi) = l(tfraci8r)^2
Portanto, a soma superior U8 é dada por
U8 = sumi=1^8 l(sup de f no i-ésimo subintervalor),De<a x = sumi=1^8 fl(xir),De<a x é

Passo 4

Substituindo De<a x=tfrac18 e f(xi)=(i/8)^2, obtemos
U8 = 18sumi=1^8l(i8r)^2 = 18cdot164sumi=1^8i^2 = 1512sumi=1^8i^2
Sabemos que
sumi=1^8i^2 = 8cdot9cdot176 = 204

Passo 5

Logo
U8 = 204512 = 51128approx 0,3984375
Isso é uma superestimação da área real integral0^1x^2,dx=1/3approx0,3333.

Resposta

A aproximação pela soma superior com 8 retângulos é
51128approx0,3984

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