Passe para coordenadas polares e calcule
, onde
é a região
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é definido por
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, em que
e o elemento de área se transforma como
.
Passo 2
Expressamos a desigualdade da região em polares. Temos
Além disso, a condição
vira
, ou seja
. Para que
faça sentido com
, precisamos também de
, isto é
. A interseção é
Passo 3
Na integral, substituímos
e
. Logo o integrando fica
Assim
Passo 4
Primeiro fazemos a integral em
:
Multiplicando pelo fator
que ficou fora, obtemos
Passo 5
Agora integramos em
:
Fazemos a substituição
,
, e os limites vão de
a
. Então
Resposta
O valor da integral é
23 .