Passe para coordenadas polares e calcule integral duplaB x y d x d y, onde B é a região x^2+y^2-2 y <= 0, x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaB x,y,dx,dy,
onde B é definido por
x^2+y^2-2y<=0 e x>=0
O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, em que
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o elemento de área se transforma como dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Expressamos a desigualdade da região em polares. Temos
x^2+y^2-2y = r^2-2rsintheta <= 0 Longrightarrow r<= 2sintheta
Além disso, a condição x>=0 vira costheta>=0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Para que r<=2sintheta faça sentido com r>=0, precisamos também de sintheta>=0, isto é thetain[0,pi]. A interseção é
thetainl[0,tfracpi2r], rin[0,2sintheta]

Passo 3

Na integral, substituímos
x,y = (rcostheta)(rsintheta) = r^2costhetasintheta
e dx,dy = r,dr,dtheta. Logo o integrando fica
x,y,dx,dy = r^2costhetasintheta;l(r,dr,dthetar) = r^3costhetasintheta ;dr,dtheta
Assim
integral duplaB x,y,dx,dy = integraltheta=0^pi/2!integralr=0^2sintheta r^3costhetasintheta;dr,dtheta

Passo 4

Primeiro fazemos a integral em r:
integral0^2sintheta r^3,dr = l[tfracr^44r]0^2sintheta = tfrac14,(2sintheta)^4 = 4sin^4theta
Multiplicando pelo fator costhetasintheta que ficou fora, obtemos
integral0^2sintheta r^3costhetasintheta,dr = 4sin^4theta;costhetasintheta = 4sin^5thetacostheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi/24sin^5thetacostheta,dtheta
Fazemos a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta, e os limites vão de u(0)=0 a u(pi/2)=1. Então
integral0^pi/24sin^5thetacostheta,dtheta = 4integral0^1u^5,du = 4cdotu^66|0^1 = 46 = 23

Resposta

O valor da integral é 23.

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