Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área abaixo do gráfico da função f(x)=x^2 no intervalo [1,3] usando uma soma inferior com 6 retângulos.

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=x^2 em [1,3] usando uma soma inferior com 6 retângulos. Vamos usar o conceito de soma de Riemann inferior para funções monótonas crescentes: cada retângulo terá largura De<a x e altura igual ao valor mínimo de f em cada subintervalo (aqui, o valor em sua extremidade esquerda).

Passo 2

Calculamos a largura dos retângulos como
De<a x = 3 - 16 = 13
E os pontos de partição são
xi = 1 + i,De<a x, i=0,1,dots,6,
ou seja
1,;43,;53,;2,;73,;83,;3

Passo 3

Esboço do gráfico e dos retângulos:
Desenhe a parábola y=x^2 de x=1 a x=3. Marque as linhas verticais em cada ponto de partição e, em cada subintervalo [xi-1,xi], trace um retângulo de base De<a x e altura f(xi-1). Como f é crescente, esse retângulo “cabe por baixo” do gráfico naquele trecho.

Passo 4

A soma inferior é
S = sumi=1^6 f(xi-1),De<a x = De<a x;l[f(1)+f(tfrac43)+f(tfrac53)+f(2)+f(tfrac73)+f(tfrac83)r]
Como
f(1)=1,; fl(tfrac43r)=tfrac169,; fl(tfrac53r)=tfrac259,; f(2)=4,; fl(tfrac73r)=tfrac499,; fl(tfrac83r)=tfrac649,
temos

Passo 5

sum f(xi-1) = 1 + 169 + 259 + 4 + 499 + 649 = 5 + 16+25+49+649 = 5 + 1549 = 45+1549 = 1999
Portanto
S = De<a x cdot 1999 = 13cdot1999 = 19927

Passo 6

Para dar um número aproximado,
19927approx 7,37037

Resposta

A soma inferior com 6 retângulos é
19927approx 7,37

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