Calcule a integral
.
e
é a fronteira do sólido
. com
apontando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a fronteira do sólido definido por
e
, com o vetor normal
apontando para fora. Vamos usar o teorema da divergência para facilitar a resolução!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos calculando. A integral
representa o fluxo do campo
através da superfície
. O teorema da divergência nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular. O teorema diz:
onde
é o volume delimitado por
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para o volume
. O sólido é definido por:
Além disso,
está limitado por
e
. Então, em termos de
, temos:
Mas como
, na verdade, estamos lidando com a parte superior do círculo no plano
.
Passo 5
Vamos montar a integral de volume usando esses limites. A integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integrando em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Agora, integramos isso em relação a
de
a
. Observe que a função é simétrica em
para os termos envolvendo
:
- O termo
é ímpar em devido a , mas multiplicado por que é constante em relação a . - O termo
é ímpar em e, portanto, sua integral de a será zero. - O termo
é par e sua integral não será zero.
Portanto:
Sabemos que:
e
Então, a integral fica:
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Calculando:
Resposta
O valor da integral
é
.