Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=lang<= x^2, y^2, z^2rang<= e S é a fronteira do sólido 0 <= z <= raiz1-y^2, 0 <= x <= 2. com n apontando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde F(x, y, z) = lang<= x^2, y^2, z^2 rang<=. A superfície S é a fronteira do sólido definido por 0 <= z <= raiz1 - y^2 e 0 <= x <= 2, com o vetor normal n apontando para fora. Vamos usar o teorema da divergência para facilitar a resolução!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos calculando. A integral integral duplaS F cdot n , dS representa o fluxo do campo F através da superfície S. O teorema da divergência nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular. O teorema diz:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
onde V é o volume delimitado por S.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = lang<= Fx, Fy, Fz rang<= é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = lang<= x^2, y^2, z^2 rang<=, então:
nabla cdot F = partial (x^2)partial x + partial (y^2)partial y + partial (z^2)partial z = 2x + 2y + 2z

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para o volume V. O sólido é definido por:
  • 0 <= x <= 2
  • 0 <= z <= raiz1 - y^2
Além disso, y está limitado por y^2 + z^2 <= 1 e z >= 0. Então, em termos de y, temos:
-1 <= y <= 1
Mas como z >= 0, na verdade, estamos lidando com a parte superior do círculo no plano yz.

Passo 5

Vamos montar a integral de volume usando esses limites. A integral fica:
integral triplaV (2x + 2y + 2z) , dV = integral0^2 integral-1^1 integral0^raiz1 - y^2 (2x + 2y + 2z) , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integrando em relação a z:
integral0^raiz1 - y^2 (2x + 2y + 2z) , dz = [ 2x z + 2y z + z^2 ]0^raiz1 - y^2
Substituindo os limites:
2x raiz1 - y^2 + 2y raiz1 - y^2 + (1 - y^2) - 0
Simplificando:
2x raiz1 - y^2 + 2y raiz1 - y^2 + 1 - y^2
Agora, integramos isso em relação a y de -1 a 1. Observe que a função é simétrica em y para os termos envolvendo y:
  • O termo 2x raiz1 - y^2 é ímpar em y devido a y, mas multiplicado por x que é constante em relação a y.
  • O termo 2y raiz1 - y^2 é ímpar em y e, portanto, sua integral de -1 a 1 será zero.
  • O termo 1 - y^2 é par e sua integral não será zero.
Portanto:
integral-1^1 (2x raiz1 - y^2 + 0 + 1 - y^2) , dy = 2x integral-1^1 raiz1 - y^2 , dy + integral-1^1 (1 - y^2) , dy
Sabemos que:
integral-1^1 raiz1 - y^2 , dy = pi2
e
integral-1^1 (1 - y^2) , dy = [ y - y^33 ]-1^1 = (1 - 13) - (-1 + 13) = 43
Então, a integral fica:
2x cdot pi2 + 43 = x pi + 43
Agora, integramos em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 (x pi + 43) , dx = pi integral0^2 x , dx + 43 integral0^2 , dx = pi [x^22]0^2 + 43 [x]0^2
Calculando:
pi (42) + 43 cdot 2 = 2pi + 83

Resposta

O valor da integral integral duplaS F cdot n , dS é 2pi + dfrac83.

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