Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste das séries alternadas.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, calcular a sua soma (se possível).
  • A série dada é \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}.

Passo 2

Teste de série alternada (teste de Leibniz) — teoria e aplicação:
  • Teoria (enunciado do teste de Leibniz, em palavras simples): se \{a_n\} é uma sequência de termos positivos tais que
    1. a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande (ou seja, \{a_n\} é monotonicamente não crescente), e
    2. \lim_{n\to\infty} a_n = 0,
      então a série alternada \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n converge.
  • Aqui identifiquemos a_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Verificações:
    • a_n>0 para todo n.
    • a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}\le \dfrac{1}{n^2}=a_n, então \{a_n\} é decrescente.
    • \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
  • Conclusão a partir do teste de Leibniz: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}} converge (pois é uma série alternada cujos módulos satisfazem as condições acima).

Passo 3

Teste de convergência absoluta — teoria e aplicação (isso dá uma conclusão mais forte):
  • Teoria (p-test): a série de termos positivos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se e somente se p>1.
  • Aplicação: aqui \sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é exatamente um caso com p=2>1. Pelo p-test, essa série converge.
  • Conclusão: a série original é absolutamente convergente. Lembrete: absoluta convergência implica convergência; portanto a série converge e, como é absoluta, não é apenas condicional.

Passo 4

Cálculo da soma — usar relação com funções zeta/eta e o valor clássico de \zeta(2):
  • Definições úteis:
    • A função zeta de Riemann para s>1 é \displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}.
    • A função alternada (função eta de Dirichlet) é \displaystyle \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n^{s}}.
  • Relação entre \eta(s) e \zeta(s) (derivação curta): \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^{s}} =\zeta(s)-2^{1-s}\zeta(s) =(1-2^{1-s})\zeta(s).(Aqui foi usado que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k)^{s}}=2^{-s}\zeta(s), e então \zeta(s)-2\cdot 2^{-s}\zeta(s)=\zeta(s)-2^{1-s}\zeta(s).)
  • Aplicar para s=2:
    • É um resultado clássico (Euler) que \displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
    • Assim
    \eta(2)=(1-2^{1-2})\zeta(2)=(1-2^{-1})\zeta(2)=\tfrac{1}{2}\zeta(2)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{12}.
    • Note que \eta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{12}.
  • A nossa série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}. Compare: (-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}=-\left[(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}}\right].Portanto \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}}=-\eta(2)=-\frac{\pi^{2}}{12}.

Passo 5

Resumo final, com um pouco de ânimo:
  • A série converge pelo teste de Leibniz e, mais fortemente, converge absolutamente pelo p-test com p=2.
  • A soma pode ser calculada usando a relação entre as séries \eta e \zeta e o valor clássico \zeta(2)=\pi^{2}/6, resultando em soma -\pi^{2}/12.

Resposta

Converge (absolutamente). Soma: -\dfrac{\pi^{2}}{12}.

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