Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste das séries alternadas. \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pede: determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, calcular a sua soma (se possível).
A série dada é \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}.
Passo 2
Teste de série alternada (teste de Leibniz) — teoria e aplicação:
Teoria (enunciado do teste de Leibniz, em palavras simples): se \{a_n\} é uma sequência de termos positivos tais que
a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande (ou seja, \{a_n\} é monotonicamente não crescente), e
\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
então a série alternada \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n converge.
a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}\le \dfrac{1}{n^2}=a_n, então \{a_n\} é decrescente.
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
Conclusão a partir do teste de Leibniz: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}} converge (pois é uma série alternada cujos módulos satisfazem as condições acima).
Passo 3
Teste de convergência absoluta — teoria e aplicação (isso dá uma conclusão mais forte):
Teoria (p-test): a série de termos positivos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se e somente se p>1.
Aplicação: aqui \sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é exatamente um caso com p=2>1. Pelo p-test, essa série converge.
Conclusão: a série original é absolutamente convergente. Lembrete: absoluta convergência implica convergência; portanto a série converge e, como é absoluta, não é apenas condicional.
Passo 4
Cálculo da soma — usar relação com funções zeta/eta e o valor clássico de \zeta(2):
Definições úteis:
A função zeta de Riemann para s>1 é \displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}.
A função alternada (função eta de Dirichlet) é \displaystyle \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n^{s}}.
Relação entre \eta(s) e \zeta(s) (derivação curta):\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}-2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)^{s}} =\zeta(s)-2^{1-s}\zeta(s) =(1-2^{1-s})\zeta(s).(Aqui foi usado que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2k)^{s}}=2^{-s}\zeta(s), e então \zeta(s)-2\cdot 2^{-s}\zeta(s)=\zeta(s)-2^{1-s}\zeta(s).)
Aplicar para s=2:
É um resultado clássico (Euler) que \displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
Note que \eta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{12}.
A nossa série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}. Compare:(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}=-\left[(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}}\right].Portanto\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{2}}=-\eta(2)=-\frac{\pi^{2}}{12}.
Passo 5
Resumo final, com um pouco de ânimo:
A série converge pelo teste de Leibniz e, mais fortemente, converge absolutamente pelo p-test com p=2.
A soma pode ser calculada usando a relação entre as séries \eta e \zeta e o valor clássico \zeta(2)=\pi^{2}/6, resultando em soma -\pi^{2}/12.