Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}
é convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular a soma, se possível.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Os termos da série são positivos para todo n\ge 1, pois \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}>0 e e^{n}>0.
  • A série é da forma \sum_{n=1}^\infty a_n com
a_n=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}.
  • O enunciado diz explicitamente “Teste da Raiz”, então devo aplicar o teste da raiz (sem perguntar nada a mais).

Passo 2

O que é o Teste da Raiz e como usá-lo (aula rápida e prática):
  • Seja uma série com termos a_n\ge 0. Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
  • Se L<1 então a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 ou L=+\infty então a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo (não permite concluir).
Observações sobre a raiz \sqrt[n]{a_n}:
  • Para potências do tipo \big(b_n\big)^{n} a raiz n-ésima simplifica muito, por exemplo \sqrt[n]{(b_n)^n}=b_n.
  • No nosso caso vale observar que \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n} é uma potência cujo expoente é 2n, então a raiz n-ésima vai reduzir esse expoente.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz ao termo a_n. Primeiro calculo a raiz n-ésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}}{\sqrt[n]{e^{n}}}.
Agora simplifico cada parte:
\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}, \qquad \sqrt[n]{e^{n}}=e.
Logo
\sqrt[n]{a_n}=\frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}}{e}.
Agora calculo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}}{e} =\frac{1^{2}}{e}=\frac{1}{e}.
Aqui usei que \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1.

Passo 4

Interpretação do resultado do Teste da Raiz:
  • Encontramos L=\dfrac{1}{e}.
  • Como e>1 temos 0<\dfrac{1}{e}<1.
  • Pelo Teste da Raiz, como L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Como os termos já eram positivos, isso significa simplesmente que a série converge.
Comentário didático adicional (intuição): como \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\to e, temos \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2n}\to e^{2}. Portanto, para n grande a_n\approx \dfrac{e^{2}}{e^{n}}=e^{2-n}, ou seja a_n se comporta como uma constante vezes e^{-n}. A série behave como uma série geométrica com razão 1/e (<1), por isso converge — isto confirma a conclusão do teste da raiz.

Passo 5

Sobre a soma da série (é possível calcular em forma fechada?):
  • A série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}.
  • Não existe uma expressão elementar conhecida (uma forma fechada simples) para essa soma em termos de funções elementares usuais; a expressão não telescopa e não é uma série geométrica exata. Portanto, não é razoável esperar uma soma fechada simples.
  • Podemos, no entanto, calcular uma boa aproximação numérica da soma truncando a série e estimando a cauda por comparação com uma geométrica (técnica padrão em provas quando se pede uma soma numérica).

Passo 6

Estimativa numérica da soma (passo a passo para fazer na prova sem calculadora, aqui mostro procedimento e valores aproximados):
  • Calculo alguns termos iniciais a_n:
\begin{aligned} a_1 &= \frac{\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^{2\cdot1}}{e^{1}}=\frac{2^{2}}{e}=\frac{4}{e}\approx 1{,}4715,\\[4pt] a_2 &= \frac{\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^{4}}{e^{2}}=\frac{(3/2)^{4}}{e^{2}}\approx 0{,}6854,\\[4pt] a_3 &\approx 0{,}2798,\quad a_4 \approx 0{,}1092,\quad a_5 \approx 0{,}0417,\\[4pt] a_6 &\approx 0{,}0158,\quad a_7\approx 0{,}0059,\quad a_8\approx 0{,}0022,\\[4pt] a_9 &\approx 0{,}00082,\quad a_{10}\approx 0{,}00031. \end{aligned}
  • Soma parcial até n=10:
S_{10}=\sum_{n=1}^{10} a_n \approx 2{,}6126.
  • Para estimar a cauda R_{10}=\sum_{n=11}^{\infty} a_n uso que, para n grande, a_n comporta-se como C\cdot e^{-n} com C\approx e^{2}. Mais diretamente, já que \sqrt[n]{a_n}\to 1/e, para n\ge 11 pode-se comparar com uma geométrica de razão r=1/e. Pegando a_{11}\approx 0{,}000113 e usando a soma da geométrica,
R_{10}\lesssim \frac{a_{11}}{1-\tfrac{1}{e}}\approx \frac{0{,}000113}{1-0{,}367879}\approx 0{,}00018.
  • Assim a soma total S satisfaz
S \approx S_{10}+R_{10}\approx 2{,}6126+0{,}00018\approx 2{,}61278.
  • Podemos arredondar com segurança a soma para, por exemplo, S\approx 2{,}6128 (a imprecisão é do tipo 10^{-4} ou menor com esse procedimento).]

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge). Soma aproximada \approx 2{,}6128.

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