Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}.
Teste da Raiz.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}.
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a série
é convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular a soma, se possível.
Informações dadas e observações imediatas:
- Os termos da série são positivos para todo
, pois e . - A série é da forma
com
- O enunciado diz explicitamente “Teste da Raiz”, então devo aplicar o teste da raiz (sem perguntar nada a mais).
Passo 2
O que é o Teste da Raiz e como usá-lo (aula rápida e prática):
- Seja uma série com termos
. Definimos
- Se
então a série converge absolutamente (logo converge). - Se
ou então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo (não permite concluir).
Observações sobre a raiz
:
- Para potências do tipo
a raiz -ésima simplifica muito, por exemplo . - No nosso caso vale observar que
é uma potência cujo expoente é , então a raiz -ésima vai reduzir esse expoente.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz ao termo
. Primeiro calculo a raiz
-ésima de
:
Agora simplifico cada parte:
Logo
Agora calculo o limite quando
:
Aqui usei que
.
Passo 4
Interpretação do resultado do Teste da Raiz:
- Encontramos
. - Como
temos . - Pelo Teste da Raiz, como
, a série converge absolutamente. - Como os termos já eram positivos, isso significa simplesmente que a série converge.
Comentário didático adicional (intuição): como
, temos
. Portanto, para
grande
, ou seja
se comporta como uma constante vezes
. A série behave como uma série geométrica com razão
(<1), por isso converge — isto confirma a conclusão do teste da raiz.
Passo 5
Sobre a soma da série (é possível calcular em forma fechada?):
- A série é
- Não existe uma expressão elementar conhecida (uma forma fechada simples) para essa soma em termos de funções elementares usuais; a expressão não telescopa e não é uma série geométrica exata. Portanto, não é razoável esperar uma soma fechada simples.
- Podemos, no entanto, calcular uma boa aproximação numérica da soma truncando a série e estimando a cauda por comparação com uma geométrica (técnica padrão em provas quando se pede uma soma numérica).
Passo 6
Estimativa numérica da soma (passo a passo para fazer na prova sem calculadora, aqui mostro procedimento e valores aproximados):
- Calculo alguns termos iniciais
:
- Soma parcial até
:
- Para estimar a cauda
uso que, para grande, comporta-se como com . Mais diretamente, já que , para pode-se comparar com uma geométrica de razão . Pegando e usando a soma da geométrica,
- Assim a soma total
satisfaz
- Podemos arredondar com segurança a soma para, por exemplo,
(a imprecisão é do tipo ou menor com esse procedimento).]
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge). Soma aproximada
.