7-) Em uma indústria de enlatados, as linhas de Produção I, II, III respondem por
da produção, respectivamente. As proporções de latas com defeito de produção nas linhas I, II, e III são
e
. Qual a probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao final da inspeção do produto acabado) provir da linha I?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao final da inspeção do produto acabado) provir da linha I?”\n
Informações dadas (vou listar todas explicitamente):
Fração da produção de cada linha:
Informações dadas (vou listar todas explicitamente):
Aqui
é o evento “lata defeituosa”. O que queremos é
, a probabilidade de que, dado que uma lata saiu defeituosa, ela tenha vindo da linha I.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando com calma).
A probabilidade condicional é a probabilidade de
ocorrer sabendo que
ocorreu. A regra de Bayes liga
a probabilidades mais diretas:
A probabilidade condicional
Aqui cada termo significa:
: probabilidade de
ocorrer se soubermos que
ocorreu;
: probabilidade a priori de
(antes de saber
);
: probabilidade total de
acontecer (sem condicionamento).
No nosso problema usamos e
. Portanto
No nosso problema usamos
Para achar
usamos a Lei da Probabilidade Total, somando a contribuição de cada linha:
Passo 3
Converter as porcentagens para probabilidades decimais (sempre cuidado com vírgula):
Passo 4
Calcular
pela soma das contribuições:
Interpretação: em média
das latas saem defeituosas considerando toda a produção.]
Passo 5
Agora aplicamos Bayes para achar
:
Vamos simplificar essa fração exatamente. Note que
portanto
Ou seja a forma exata é
.]
Passo 6
Converter para porcentagem para ficar mais intuitivo:
Interpretação final: entre todas as latas defeituosas, cerca de
vieram da linha I. Força aí — com esse esquema você resolve rapidinho qualquer problema parecido!