7-) Em uma indústria de enlatados, as linhas de Produção I, II, III respondem por 50 \%, 30 \%, 20 \% da produção, respectivamente. As proporções de latas com defeito de produção nas linhas I, II, e III são 0,4 \%, 0,6 \% e 1,2 \%. Qual a probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao final da inspeção do produto acabado) provir da linha I?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de uma lata defeituosa (descoberta ao final da inspeção do produto acabado) provir da linha I?”\n
Informações dadas (vou listar todas explicitamente):
\bullet Fração da produção de cada linha:
\begin{aligned} \text{Linha I: }&50\% \\\ \text{Linha II: }&30\% \\\ \text{Linha III: }&20\% \end{aligned}
\bullet Proporções de latas defeituosas (taxa de defeito) em cada linha:
\begin{aligned} P(D \mid \text{I}) &= 0{,}4\% \\\ P(D \mid \text{II}) &= 0{,}6\% \\\ P(D \mid \text{III}) &= 1{,}2\% \end{aligned}
Aqui D é o evento “lata defeituosa”. O que queremos é P(\text{linha I} \mid D), a probabilidade de que, dado que uma lata saiu defeituosa, ela tenha vindo da linha I.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando com calma).
A probabilidade condicional P(A\mid B) é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu. A regra de Bayes liga P(A\mid B) a probabilidades mais diretas:
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.
Aqui cada termo significa:
\bullet P(B\mid A): probabilidade de B ocorrer se soubermos que A ocorreu;
\bullet P(A): probabilidade a priori de A (antes de saber B);
\bullet P(B): probabilidade total de B acontecer (sem condicionamento).
No nosso problema usamos A=\text{linha I} e B=D. Portanto
P(\text{I}\mid D)=\frac{P(D\mid \text{I})\,P(\text{I})}{P(D)}.
Para achar P(D) usamos a Lei da Probabilidade Total, somando a contribuição de cada linha:
P(D)=P(D\mid \text{I})P(\text{I})+P(D\mid \text{II})P(\text{II})+P(D\mid \text{III})P(\text{III}).

Passo 3

Converter as porcentagens para probabilidades decimais (sempre cuidado com vírgula):
\begin{aligned} P(\text{I}) &= 50\% = 0{,}5,\\\ P(\text{II}) &= 30\% = 0{,}3,\\\ P(\text{III}) &= 20\% = 0{,}2,\\\ P(D\mid \text{I}) &= 0{,}4\% = 0{,}004,\\\ P(D\mid \text{II}) &= 0{,}6\% = 0{,}006,\\\ P(D\mid \text{III}) &= 1{,}2\% = 0{,}012. \end{aligned}

Passo 4

Calcular P(D) pela soma das contribuições:
\begin{aligned} P(D) &=0{,}004\cdot 0{,}5 + 0{,}006\cdot 0{,}3 + 0{,}012\cdot 0{,}2\\[4pt] &=0{,}002 + 0{,}0018 + 0{,}0024\\[4pt] &=0{,}0062. \end{aligned}
Interpretação: em média 0{,}62\% das latas saem defeituosas considerando toda a produção.]

Passo 5

Agora aplicamos Bayes para achar P(\text{I}\mid D):
\begin{aligned} P(\text{I}\mid D) &=\frac{P(D\mid \text{I})P(\text{I})}{P(D)}\\[4pt] &=\frac{0{,}004\cdot 0{,}5}{0{,}0062}\\[4pt] &=\frac{0{,}002}{0{,}0062}. \end{aligned}
Vamos simplificar essa fração exatamente. Note que
0{,}002=\frac{1}{500},\qquad 0{,}0062=\frac{31}{5000},
portanto
\frac{0{,}002}{0{,}0062}=\frac{1/500}{31/5000}=\frac{1}{500}\cdot\frac{5000}{31}=\frac{10}{31}.
Ou seja a forma exata é \dfrac{10}{31}.]

Passo 6

Converter para porcentagem para ficar mais intuitivo:
\frac{10}{31}\approx 0{,}322580645\ldots \approx 32{,}26\%.
Interpretação final: entre todas as latas defeituosas, cerca de 32{,}26\% vieram da linha I. Força aí — com esse esquema você resolve rapidinho qualquer problema parecido!

Resposta

P(\text{linha I}\mid \text{defeituosa})=\dfrac{10}{31}\approx 32{,}26\%

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