9-) Um a empresa de sementes fiscalizadas vende pacotes com 20 Kg cada. As máquinas A , B , e C enchem 25 \%, 35 \% e 40 \% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5 \%, 4 \% e 2 \% respectivamente, são pacotes fora do peso aceitável. Escolhese ao acaso um pacote e verifica-se que está fora do peso aceitável. Qual a probabilidade de que o pacote tenha vindo da máquina A ?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte: a empresa tem três máquinas A, B e C que enchem pacotes. Foi escolhido ao acaso um pacote e ele foi verificado como estando fora do peso aceitável. O que se pede é a probabilidade de que esse pacote tenha sido produzido pela máquina A.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
P(A)=25\%,\quad P(B)=35\%,\quad P\text{(C)}=40\%.
Da produção de cada máquina, a fração de pacotes fora do peso aceitável é:
P(\text{fora}\mid A)=5\%,\quad P(\text{fora}\mid B)=4\%,\quad P(\text{fora}\mid C)=2\%.
Pergunta: Qual é P(A\mid \text{fora}), ou seja, a probabilidade de que o pacote venha da máquina A dado que ele está fora do peso aceitável?

Passo 2

Vou definir os eventos e traduzir porcentagens em probabilidades numéricas (sempre em forma decimal, usando vírgula como separador):
  • Evento A: pacote veio da máquina A. Então P(A)=0,25.
  • Evento B: pacote veio da máquina B. Então P(B)=0,35.
  • Evento C: pacote veio da máquina C. Então P\text{(C)}=0,40.
  • Evento D: pacote está fora do peso aceitável. As probabilidades condicionais são: P(D\mid A)=0,05,\quad P(D\mid B)=0,04,\quad P(D\mid C)=0,02.
O objetivo é calcular P(A\mid D).

Passo 3

Conceito necessário (explicadinho): o Teorema de Bayes nos dá a forma de calcular a probabilidade posterior P(A\mid D) a partir das probabilidades condicionais e das probabilidades a priori. A fórmula é
P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)\,P(A)}{P(D)}.
Aqui P(D) é a probabilidade total de um pacote estar fora do peso, e pode ser obtida pela Lei da Probabilidade Total:
P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid B)P(B)+P(D\mid C)P\text{(C)}.
Explicando as palavras: P(D\mid A) é a chance de um pacote estar fora do peso se sabemos que veio de A; P(A) é a fração da produção feita por A. Multiplicando obtemos a contribuição de A para a probabilidade total de um pacote ser fora do peso. Somando as contribuições de A,B,C obtemos P(D).

Passo 4

Calculo das contribuições de cada máquina para P(D) (uso as probabilidades numéricas):
P(D\mid A)P(A)=0,05\cdot 0,25=0,0125.
P(D\mid B)P(B)=0,04\cdot 0,35=0,0140.
P(D\mid C)P\text{(C)}=0,02\cdot 0,40=0,0080.
Agora somo para obter P(D):
P(D)=0,0125+0,0140+0,0080=0,0345.

Passo 5

Aplicando Bayes:
P(A\mid D)=\frac{P(D\mid A)P(A)}{P(D)}=\frac{0,0125}{0,0345}.
Faço a divisão (aproximação):
\frac{0,0125}{0,0345}\approx 0,3623188406\approx 0,3623.

Passo 6

Interpretação prática e dica de prova: P(A\mid D) é aproximadamente 0,3623, ou seja cerca de 36,23\%. Intuitivamente isso significa que, sabendo só que um pacote está fora do peso, a chance de ele ter vindo de A é ~36%. Um jeito rápido de pensar na prova: calcule as contribuições absolutas (aqui 0,0125,\;0,0140,\;0,0080), some para o total ( 0,0345) e a razão da contribuição de A pelo total dá a resposta.
Checagem de consistência (rápida): posso calcular também P(B\mid D)=0,0140/0,0345\approx 0,4058 e P(C\mid D)=0,0080/0,0345\approx 0,2319. Essas três somam aproximadamente 1,0000, o que confirma que os cálculos fazem sentido.

Resposta

0,3623 (aproximadamente)
36,23\%

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