9-) Um a empresa de sementes fiscalizadas vende pacotes com 20 Kg cada. As máquinas A , B , e C enchem
,
e
do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina
e
respectivamente, são pacotes fora do peso aceitável. Escolhese ao acaso um pacote e verifica-se que está fora do peso aceitável. Qual a probabilidade de que o pacote tenha vindo da máquina
?
Passo 1
O enunciado dá o seguinte: a empresa tem três máquinas
,
e
que enchem pacotes. Foi escolhido ao acaso um pacote e ele foi verificado como estando fora do peso aceitável. O que se pede é a probabilidade de que esse pacote tenha sido produzido pela máquina
.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
Da produção de cada máquina, a fração de pacotes fora do peso aceitável é:
Pergunta: Qual é
, ou seja, a probabilidade de que o pacote venha da máquina
dado que ele está fora do peso aceitável?
Passo 2
Vou definir os eventos e traduzir porcentagens em probabilidades numéricas (sempre em forma decimal, usando vírgula como separador):
- Evento
: pacote veio da máquina . Então . - Evento
: pacote veio da máquina . Então . - Evento
: pacote veio da máquina . Então . - Evento
: pacote está fora do peso aceitável. As probabilidades condicionais são:
O objetivo é calcular
.
Passo 3
Conceito necessário (explicadinho): o Teorema de Bayes nos dá a forma de calcular a probabilidade posterior
a partir das probabilidades condicionais e das probabilidades a priori. A fórmula é
Aqui
é a probabilidade total de um pacote estar fora do peso, e pode ser obtida pela Lei da Probabilidade Total:
Explicando as palavras:
é a chance de um pacote estar fora do peso se sabemos que veio de
;
é a fração da produção feita por
. Multiplicando obtemos a contribuição de
para a probabilidade total de um pacote ser fora do peso. Somando as contribuições de
obtemos
.
Passo 4
Calculo das contribuições de cada máquina para
(uso as probabilidades numéricas):
Agora somo para obter
:
Passo 5
Aplicando Bayes:
Faço a divisão (aproximação):
Passo 6
Interpretação prática e dica de prova:
é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Intuitivamente isso significa que, sabendo só que um pacote está fora do peso, a chance de ele ter vindo de
é ~36%. Um jeito rápido de pensar na prova: calcule as contribuições absolutas (aqui
), some para o total (
) e a razão da contribuição de
pelo total dá a resposta.
Checagem de consistência (rápida): posso calcular também
e
. Essas três somam aproximadamente
, o que confirma que os cálculos fazem sentido.