Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
    O peso (kg) de 12 recém-nascidos:
    (3.2,2.9,3.5,3.1,3.3,2.7,3.0,3.6,2.8,3.4,3.1,3.2).

Passo 1

O enunciado pede que, usando os pesos (kg) de 12 recém-nascidos fornecidos, eu calcule:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis (Q1, Q2, Q3) e IQR
  • Construa o histograma (frequências / frequências relativas e uma representação simples)
  • Construa o boxplot (cinco números e identificação de outliers, se houver)
Os dados fornecidos (peso em kg) são:
\,3,2,\;2,9,\;3,5,\;3,1,\;3,3,\;2,7,\;3,0,\;3,6,\;2,8,\;3,4,\;3,1,\;3,2\,.

Passo 2

Organizar os dados em ordem crescente (isso facilita mediana e quartis). Ordenando os doze valores obtemos:
2,7,\;2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,1,\;3,1,\;3,2,\;3,2,\;3,3,\;3,4,\;3,5,\;3,6
Anotei explicitamente os números da imagem/enunciado e os ordenei.

Passo 3

Calcular a média amostral. Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde n é o número de observações e x_i são os valores.
Aqui n=12. Primeiro somamos todos os valores:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 37,8
Logo a média é
\bar{x}=\frac{37,8}{12}=3,15
Portanto a média amostral é \bar{x}=3,15 kg.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral. Vou explicar a diferença entre variância populacional e amostral de forma simples: quando temos uma amostra e queremos estimar a variabilidade da população, usamos o denominador n-1 (graus de liberdade) — isso corrige o viés. A fórmula da variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
Vou calcular cada desvio ao quadrado (usando \bar{x}=3,15). Para facilitar, mostro os valores (x_i-\bar{x}) e (x_i-\bar{x})^2:
\begin{array}{lcl} x_1=2,7 &:\; x_1-\bar{x}=-0,45 &:\; (x_1-\bar{x})^2=0,2025\\[2pt] x_2=2,8 &:\; -0,35 &:\; 0,1225\\[2pt] x_3=2,9 &:\; -0,25 &:\; 0,0625\\[2pt] x_4=3,0 &:\; -0,15 &:\; 0,0225\\[2pt] x_5=3,1 &:\; -0,05 &:\; 0,0025\\[2pt] x_6=3,1 &:\; -0,05 &:\; 0,0025\\[2pt] x_7=3,2 &:\; 0,05 &:\; 0,0025\\[2pt] x_8=3,2 &:\; 0,05 &:\; 0,0025\\[2pt] x_9=3,3 &:\; 0,15 &:\; 0,0225\\[2pt] x_{10}=3,4 &:\; 0,25 &:\; 0,0625\\[2pt] x_{11}=3,5 &:\; 0,35 &:\; 0,1225\\[2pt] x_{12}=3,6 &:\; 0,45 &:\; 0,2025 \end{array}
Agora somo os quadrados:
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2 = 0,83
Como n-1=11, a variância amostral é
s^2=\frac{0,83}{11}=0,0754545\ldots
e o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{0,0754545\ldots}\approx 0,275
Arredondei para três casas decimais: s\approx0,275 kg.]

Passo 5

Calcular a mediana amostral. Regras práticas:
  • Se n é ímpar, a mediana é o valor da posição \frac{n+1}{2}.
  • Se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais, posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Aqui n=12 (par), então a mediana é a média dos valores na 6ª e 7ª posições da amostra ordenada. Da ordenação:
\text{6ª} = 3,1,\qquad \text{7ª} = 3,2ªª
Logo
\text{mediana} = \frac{3,1+3,2}{2}=3,15
A mediana amostral é 3,15 kg (igual à média neste conjunto).

Passo 6

Calcular os quartis Q_1 e Q_3 (usarei o método comum: dividir a amostra ordenada exatamente pela metade e tomar a mediana de cada metade; quando n é par, a metade inferior são as primeiras n/2 observações e a metade superior as últimas n/2).
Metade inferior (6 valores):
2,7,\;2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,1,\;3,1
Oquartil Q_1 é a mediana dessa metade: média da 3ª e 4ª posições da metade:
Q_1=\frac{2,9+3,0}{2}=2,95
Metade superior (6 valores):
3,2,\;3,2,\;3,3,\;3,4,\;3,5,\;3,6
O quartil Q_3 é a mediana dessa metade: média da 3ª e 4ª posições da metade:
Q_3=\frac{3,3+3,4}{2}=3,35
O intervalo interquartílico é
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=3,35-2,95=0,40
Verificação de outliers usando fences (regra padrão 1,5·IQR):
\text{limite inferior}=Q_1-1,5\cdot\mathrm{IQR}=2,95-1,5\cdot0,40=2,95-0,60=2,35
\text{limite superior}=Q_3+1,5\cdot\mathrm{IQR}=3,35+0,60=3,95
Todos os dados estão em [2,7,3,6], ou seja, entre 2,35 e 3,95. Portanto não há outliers segundo essa regra.

Passo 7

Construir o histograma. Primeiro escolho uma divisão de classes simples e intuitiva para estes dados: três classes de largura 0,3 cobrindo o intervalo de 2,7 a 3,6. Defino as classes (usando convenção esquerda inclusiva, direita exclusiva, exceto a última que é inclusiva):
  • Classe 1: [2,7,\;3,0)
  • Classe 2: [3,0,\;3,3)
  • Classe 3: [3,3,\;3,6]
Contagem em cada classe (usando os dados ordenados):
  • Classe 1 [2,7,3,0): 2,7,\;2,8,\;2,9 → contagem 3
  • Classe 2 [3,0,3,3): 3,0,\;3,1,\;3,1,\;3,2,\;3,2 → contagem 5
  • Classe 3 [3,3,3,6]: 3,3,\;3,4,\;3,5,\;3,6 → contagem 4
Frequências relativas:
\text{classe 1: } \frac{3}{12}=0,25,\quad \text{classe 2: } \frac{5}{12}\approx0,417,\quad \text{classe 3: } \frac{4}{12}\approx0,333
Representação gráfica simples (ASCII) do histograma, cada “*” representa 1 observação:
[2,7,\,3,0)\;:\;***\;(3)
[3,0,\,3,3)\;:\;*****\;(5)
[3,3,\,3,6]\;:\;****\;(4)
Isso é suficiente para construir um histograma em papel: no eixo horizontal as classes [2,7,3,0),[3,0,3,3),[3,3,3,6] e no eixo vertical as contagens 3,5,4.

Passo 8

Construir o boxplot. Primeiro o resumo de cinco números (five-number summary):
  • Mínimo: \min=2,7
  • Q_1=2,95
  • Mediana =3,15
  • Q_3=3,35
  • Máximo: \max=3,6
Como já verifiquei, não há outliers (todos os pontos estão dentro de 2,35 e 3,95), então os “whiskers” do boxplot vão do mínimo ao máximo. Uma representação ASCII simplificada do boxplot (posição aproximada):
\text{min }2,7\;|\;\underbrace{---}_{\text{whisker}}\;Q_1\;2,95\;[\; \overline{\\ \\ \; \\ } \\ ]\;Q_3\;3,35\;\underbrace{---}_{\text{whisker}}\;|\text{ max }3,6
Ou, mostrando os números alinhados:
2,7\quad\underbrace{---}_{\text{até}}\;2,95\;[\,\text{caixa}\,]\;3,35\quad\underbrace{---}_{\text{até}}\;3,6éé
No papel/GUI você desenha uma caixa do Q_1 até Q_3, uma linha dentro da caixa na mediana 3,15, e whiskers que vão até 2,7 e 3,6. Não há pontos isolados/outliers.

Passo 9

Resumo interpretativo rápido e dica de prova (rápida e motivadora): a distribuição é bastante concentrada em torno de 3,15 kg com pouca variabilidade ( s\approx0,275 kg). Se for pedir tendência central use média e mediana; se pedirem dispersão use s e IQR. Se aparecer a questão “há outliers?” aplique a regra dos fences (1,5·IQR) como eu fiz.

Resposta

Média amostral: \bar{x}=3,15 kg
Desvio padrão amostral: s\approx0,275 kg
Mediana: 3,15 kg
Q_1=2,95 kg, Q_2=3,15 kg, Q_3=3,35 kg
Histograma (classes e contagens): [2,7,3,0)\!:\;3, [3,0,3,3)\!:\;5, [3,3,3,6]\!:\;4 (frequências relativas 0,25,\;0,417,\;0,333)
Boxplot (cinco números): \min=2,7,\;Q_1=2,95,\;\text{mediana}=3,15,\;Q_3=3,35,\;\max=3,6 (sem outliers)

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