Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,0),(1,1)\} e C=\{(1,1),(0,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
B = \{(1,0),\,(1,1)\}
e
C = \{(1,1),\,(0,1)\}
no espaço \mathbb{R}^2, e pede para verificar se cada um é base e, caso sejam, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_{C} = P_{B\to C}\,[v]_{B}.
O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais e vamos precisar expressar cada vetor de B em coordenadas na base C.

Passo 2

Verificamos se B é base conferindo que seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2. A matriz cujas colunas são os vetores de B é
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
cujo determinante vale 1\neq0. Logo, B é base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

De modo análogo, para C formamos a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix},
com determinante 1\neq0. Portanto, C também é base de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Para montar P_{B\to C}\), lembramos que a \(j\)-ésima coluna de \(P_{B\to C}\) é o vetor \(b_j\in B\) expresso em coordenadas na base \(C\). Começamos por \(b_1 = (1,0)\). Queremos \(a,b\) tais que \[(1,0) \;=\; a\,(1,1)\;+\;b\,(0,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a = 1,\\\ a + b = 0. \end{cases}
Da primeira equação a=1\] e da segunda \(b=-1. Logo
[b_1]_{C} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora para b_2 = (1,1)\), buscamos \(a,b\) tais que \[(1,1) \;=\; a\,(1,1)\;+\;b\,(0,1).
O sistema é
\begin{cases} a = 1,\\\ a + b = 1. \end{cases}
Daí a=1\] e \(b=0, ou seja
[b_2]_{C} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Juntando as colunas [b_1]_{C} e [b_2]_{C}, obtemos
P_{B\to C} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\to C} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

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