Questão 4 ( 2,0 pontos). Obter a equação reduzida, coordenadas de A_{1,2}, B_{1,2}, F_{1,2} e as retas assíntotas da seguinte hipérbole: 4 x^{2}-y^{2}-8 x-4 y-4=0

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
4x^{2}-y^{2}-8x-4y-4=0
e pede a equação reduzida, os pontos A_{1,2}, B_{1,2}, F_{1,2} e as retas assíntotas. Para isso vamos completar quadrados, identificar centro, parâmetros a, b, c e usar a fórmula das assíntotas.

Passo 2

Agrupando e completando quadrados em x e y:
4(x^2-2x)-\bigl(y^2+4y\bigr)-4=0.
Note que
x^2-2x=(x-1)^2-1, \quad y^2+4y=(y+2)^2-4.
Substituindo na equação:
4\bigl[(x-1)^2-1\bigr]-\bigl[(y+2)^2-4\bigr]-4=0
4(x-1)^2-4-(y+2)^2+4-4=0
4(x-1)^2-(y+2)^2=4
Dividindo por 4:
\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y+2)^2}{4}=1.

Passo 3

Da forma
\frac{(x-1)^2}{a^2}-\frac{(y+2)^2}{b^2}=1
temos o centro C(h,k)=(1,-2), a^2=1, b^2=4, logo a=1, b=2. O parâmetro c vem de
c^2=a^2+b^2=1+4=5, \quad c=\sqrt{5}.

Passo 4

Vértices principais A_{1,2} sobre o eixo transverso (horizontal):
A_1=(h+a,k)=(2,-2), \quad A_2=(h-a,k)=(0,-2).
Co-vértices B_{1,2} sobre o eixo conjugado (vertical):
B_1=(h,k+b)=(1,0), \quad B_2=(h,k-b)=(1,-4).
Focos F_{1,2} a uma distância c de C ao longo do eixo transverso:
F_1=(h+c,k)=(1+\sqrt{5},-2), \quad F_2=(h-c,k)=(1-\sqrt{5},-2).

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole alinhada com os eixos são
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Aqui h=1, k=-2, b/a=2. Logo
y+2=2(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=2x-4,
y+2=-2(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=-2x.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y+2)^2}{4}=1.
Vértices: A_1=(2,-2), A_2=(0,-2).
Co-vértices: B_1=(1,0), B_2=(1,-4).
Focos: F_1=(1+\sqrt{5},-2), F_2=(1-\sqrt{5},-2).
Assíntotas:
y=2x-4,\quad y=-2x.

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