Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(2,1),(1,1)\} e \(C=\{(1,0),(0,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
B = \{(2,1),\,(1,1)\}
e
C = \{(1,0),\,(0,1)\}
são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base
[v]_{C} \;=\; P_{B\to C}\,[v]_{B}.
O conteúdo aqui é definição de base em espaços vetoriais e construção da matriz de passagem entre bases.

Passo 2

Para ser base de \mathbb{R}^2, um conjunto de dois vetores deve ser linearmente independente.
  1. Em C, temos os vetores (1,0) e (0,1), que são claramente independentes e geram \mathbb{R}^2. Logo, C é base (é a base canônica).
  2. Em B, formamos a matriz cujas colunas são (2,1) e (1,1):
\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é
2\cdot1 - 1\cdot1 = 1 \neq 0,
portanto esses vetores são independentes e geram \mathbb{R}^2. Logo, B também é base.

Passo 3

A matriz de mudança de base P_{B\to C} é obtida escrevendo cada vetor de B nas coordenadas da base C. Como C é a base canônica, as coordenadas de (2,1) e (1,1) em relação a C são elas mesmas. Assim, as colunas de P_{B\to C} são
b_1 = (2,1) \quad\text{e}\quad b_2 = (1,1).

Resposta

P_{B\to C} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}

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