Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,-1),(2,1)\} e \(C=\{(3,1),(1,2)\}.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de vetores em \mathbb{R}^2:
B=\{(1,-1),(2,1)\} e C=\{(3,1),(1,2)\}.
Precisamos verificar se cada conjunto é base (isto é, vetores LI) e, se sim, achar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.

Passo 2

Para ver se um conjunto de dois vetores em \mathbb{R}^2 é base, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.
Para B:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - (-1)\cdot2 =1+2 =3 \neq 0,
logo B é base.
Para C:
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =3\cdot2 - 1\cdot1 =6-1 =5 \neq 0,
logo C também é base.

Passo 3

Para obter [P_{B\to C}), expressamos cada vetor de B como combinação dos vetores de C.
Chamando b_1=(1,-1), b_2=(2,1), c_1=(3,1), c_2=(1,2), resolvemos dois sistemas:
  1. \alpha c_1 + \beta c_2 = b_1, isto é
    \begin{cases} 3\alpha + \beta = 1,\\\ \alpha + 2\beta = -1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \tfrac{3}{5},\;\beta = -\tfrac{4}{5}.
  2. (\alpha’ c_1 + \beta’ c_2 = b_2], isto é
    \begin{cases} 3\alpha' + \beta' = 2,\\\ \alpha' + 2\beta' = 1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \alpha' = \tfrac{3}{5},\;\beta' = \tfrac{1}{5}.

Passo 4

As colunas de P_{B\to C} são exatamente os coeficientes (\alpha,\beta) e (\alpha',\beta'):
P_{B\to C} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{3}{5}\\\\ -\frac{4}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}.

Resposta

B e C são bases de \mathbb{R}^2 e
P_{B\to C} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{3}{5}\\\\ -\frac{4}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados