Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,2),(3,4)\} e \(C=\{(2,3),(-1,1)\}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se B=\{(1,2),(3,4)\} e C=\{(2,3),(-1,1)\} são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\to C} que satisfaz
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.
Conteúdo: bases em \mathbb{R}^2 e mudança de coordenadas.
Passo 2
Para verificar que B é base basta mostrar que seus vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Colocamos as colunas na matriz
M_B=\begin{pmatrix}1 & 3\\\\ 2 & 4\end{pmatrix}
e calculamos o determinante
\det(M_B)=1\cdot4-3\cdot2=4-6=-2\neq0.
Logo B é base de \mathbb{R}^2.
Passo 3
De modo análogo, para C montamos
M_C=\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix},
\det(M_C)=2\cdot1-(-1)\cdot3=2+3=5\neq0,
portanto C também é base de \mathbb{R}^2.
Passo 4
A matriz de mudança P_{B\to C} tem colunas dadas pelas coordenadas de cada vetor de B expressas na base C. Primeiro, escrevemos (1,2)=a\,(2,3)+b\,(-1,1),
isto é, o sistema
2a - b = 1,\quad 3a + b = 2.
Somando as equações obtemos 5a=3, então a=\tfrac{3}{5} e b=2-3a=\tfrac{1}{5}. Logo