Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,2),(3,4)\} e \(C=\{(2,3),(-1,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B=\{(1,2),(3,4)\} e C=\{(2,3),(-1,1)\} são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\to C} que satisfaz
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.
Conteúdo: bases em \mathbb{R}^2 e mudança de coordenadas.

Passo 2

Para verificar que B é base basta mostrar que seus vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Colocamos as colunas na matriz
M_B=\begin{pmatrix}1 & 3\\\\ 2 & 4\end{pmatrix}
e calculamos o determinante
\det(M_B)=1\cdot4-3\cdot2=4-6=-2\neq0.
Logo B é base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

De modo análogo, para C montamos
M_C=\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix},
\det(M_C)=2\cdot1-(-1)\cdot3=2+3=5\neq0,
portanto C também é base de \mathbb{R}^2.

Passo 4

A matriz de mudança P_{B\to C} tem colunas dadas pelas coordenadas de cada vetor de B expressas na base C. Primeiro, escrevemos
(1,2)=a\,(2,3)+b\,(-1,1),
isto é, o sistema
2a - b = 1,\quad 3a + b = 2.
Somando as equações obtemos 5a=3, então a=\tfrac{3}{5} e b=2-3a=\tfrac{1}{5}. Logo
[\, (1,2)\,]_{C}=\begin{pmatrix}3/5\\\ 1/5\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora escrevemos
(3,4)=a\,(2,3)+b\,(-1,1),
isto é,
2a - b = 3,\quad 3a + b = 4.
Somando, 5a=7 leva a a=\tfrac{7}{5} e b=4-3a=-\tfrac{1}{5}. Assim
[\, (3,4)\,]_{C}=\begin{pmatrix}7/5\\\ -1/5\end{pmatrix}.

Passo 6

Reunindo essas colunas, a matriz de mudança de base de B para C é
P_{B\to C} =\begin{pmatrix} 3/5 & 7/5\\\\ 1/5 & -1/5 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\to C} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & \tfrac{7}{5} \\[6pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}]

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