Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,0),(0,1)\} e \(C=\{(4,1),(-2,3)\}.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
B = \{(1,0),(0,1)\},\quad C = \{(4,1),(-2,3)\}
em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se são bases e, se forem, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_{C} = P_{B\to C}\,[v]_{B}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: bases e mudança de coordenadas.

Passo 2

Verificar se B é base.
B é a base canônica de \mathbb{R}^2, logo seus vetores são linearmente independentes e geram todo \mathbb{R}^2. Portanto B é base.

Passo 3

Verificar se C é base.
Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de C e calculamos o determinante:
\det \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix} =4\cdot3 -(-2)\cdot1 =12+2 =14 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores de C são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2. Logo C é base.

Passo 4

Definição de P_{B\to C}: para todo vetor v,
[v]_{C} = P_{B\to C}\,[v]_{B}.
As colunas de P_{B\to C} são as coordenadas de b_1=(1,0) e b_2=(0,1) na base C.

Passo 5

Calcular [b_1]_{C}\). Buscamos \(\alpha,\beta\) tais que \[(1,0) = \alpha\,(4,1) + \beta\,(-2,3).
Isto gera o sistema
\begin{cases} 4\alpha - 2\beta = 1,\\\ \alpha + 3\beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação (\alpha = -3\beta]. Substituindo na primeira:
4(-3\beta) -2\beta = 1 \implies -14\beta =1 \implies \beta = -\tfrac1{14},\quad \alpha = \tfrac3{14}.
Logo
[b_1]_{C} = \begin{pmatrix}\tfrac3{14}\\[4pt]-\tfrac1{14}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular [b_2]_{C}\). Procuramos \(\gamma,\delta\) tais que \[(0,1) = \gamma\,(4,1) + \delta\,(-2,3).
Isto dá
\begin{cases} 4\gamma - 2\delta = 0,\\\ \gamma + 3\delta = 1. \end{cases}
Da primeira equação (\delta = 2\gamma]. Substituindo na segunda:
\gamma + 3(2\gamma) =1 \implies 7\gamma =1 \implies \gamma = \tfrac17,\quad \delta = \tfrac27.
Logo
[b_2]_{C} = \begin{pmatrix}\tfrac17\\[4pt]\tfrac27\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montar P_{B\to C} cujas colunas são [b_1]_{C} e [b_2]_{C}:
P_{B\to C} = \begin{pmatrix} \tfrac3{14} & \tfrac17\\[4pt] -\tfrac1{14} & \tfrac27 \end{pmatrix}.]

Resposta

P_{B\to C} = \begin{pmatrix} \tfrac3{14} & \tfrac17\\[4pt] -\tfrac1{14} & \tfrac27 \end{pmatrix}.]

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