Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(2,-1),(1,3)\} e \(C=\{(5,0),(0,2)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: conceito de base, determinante para independência e coordenadas de vetores em outra base.

Passo 2

Verificamos se B=\{(2,-1),(1,3)\} é base, checando se seus vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix} =2\cdot3-(-1)\cdot1=6+1=7\neq0.
Como o determinante é não nulo, B é uma base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Verificamos se C=\{(5,0),(0,2)\} é base, calculando o determinante da matriz formada por esses vetores:
\det\begin{pmatrix} 5 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =5\cdot2-0\cdot0=10\neq0.
Como o determinante é não nulo, C também é base de \mathbb{R}^2.

Passo 4

Para construir P_{B\to C}, lembramos que suas colunas são as coordenadas dos vetores de B expressos na base C. Sejam b_1=(2,-1) e b_2=(1,3) os vetores de B. Precisamos achar [b_i]_{C} tal que
b_i=\alpha_i\,(5,0)+\beta_i\,(0,2).

Passo 5

Para b_1=(2,-1) resolvemos
(2,-1)=\alpha_1\,(5,0)+\beta_1\,(0,2) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 5\alpha_1=2,\\\\ 2\beta_1=-1, \end{cases}
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\alpha_1=\frac{2}{5},\quad \beta_1=-\frac{1}{2},
e
[b_1]_{C} =\begin{pmatrix}\frac{2}{5}\\[4pt]-\frac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para b_2=(1,3) resolvemos
(1,3)=\alpha_2\,(5,0)+\beta_2\,(0,2) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 5\alpha_2=1,\\\\ 2\beta_2=3, \end{cases}
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\alpha_2=\frac{1}{5},\quad \beta_2=\frac{3}{2},
e
[b_2]_{C} =\begin{pmatrix}\frac{1}{5}\\[4pt]\frac{3}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Reunindo essas coordenadas, a matriz de mudança de base P_{B\to C} é
P_{B\to C} =\begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\[6pt] -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

P_{B\to C} =\begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\\[6pt] -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.]

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