Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(2,-1),(1,3)\} e \(C=\{(5,0),(0,2)\}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: conceito de base, determinante para independência e coordenadas de vetores em outra base.
Passo 2
Verificamos se B=\{(2,-1),(1,3)\} é base, checando se seus vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
Como o determinante é não nulo, C também é base de \mathbb{R}^2.
Passo 4
Para construir P_{B\to C}, lembramos que suas colunas são as coordenadas dos vetores de B expressos na base C. Sejam b_1=(2,-1) e b_2=(1,3) os vetores de B. Precisamos achar [b_i]_{C} tal que