Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \(C=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as famílias
\,B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e
\,C=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\} são bases de \mathbb{R}^3 e, se forem, determinar a matriz de mudança de base
P_{B \rightarrow C}
tal que para todo vetor v em \mathbb{R}^3 vale
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}.
Vamos usar conceitos de linearidade: independência linear, determinante e expressão de vetores em coordenadas.

Passo 2

Verificamos primeiro que B é a base padrão de \mathbb{R}^3 (os vetores canônicos). Para C, montamos a matriz cujas colunas são os vetores de C:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de M:
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} +0\cdot\det(\cdots) =0 -1\,(0-1)=1\neq0.
Como o determinante é não nulo, C é também uma base.

Passo 3

Para achar P_{B\rightarrow C}\), lembramos que a coluna \(j\) de \(P\) é \([e_j]_{C}\), onde \(e_1,e_2,e_3\) são os vetores de \(B\). 1. Escrevemos \[e_1=(1,0,0)=a_1(1,1,1)+b_1(1,0,0)+c_1(0,1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a_1+b_1=1,\\\ a_1+c_1=0,\\\ a_1=0. \end{cases}
Daí a_1=0\], \[b_1=1, c_1=0, logo
[e_1]_{C}=(0,1,0)^T.
  1. Escrevemos
e_2=(0,1,0)=a_2(1,1,1)+b_2(1,0,0)+c_2(0,1,0),
o que dá
\begin{cases} a_2+b_2=0,\\\ a_2+c_2=1,\\\ a_2=0. \end{cases}
Logo a_2=0\], \[b_2=0, c_2=1 e
[e_2]_{C}=(0,0,1)^T.
  1. Escrevemos
e_3=(0,0,1)=a_3(1,1,1)+b_3(1,0,0)+c_3(0,1,0),
o que gera
\begin{cases} a_3+b_3=0,\\\ a_3+c_3=0,\\\ a_3=1. \end{cases}
Daí a_3=1\], \(b_3=-1, c_3=-1 e
[e_3]_{C}=(1,-1,-1)^T.

Passo 4

Agora montamos P_{B\rightarrow C} com essas colunas:
P_{B \rightarrow C} =\bigl[\, [e_1]_{C}\;\big|\;[e_2]_{C}\;\big|\;[e_3]_{C}\bigr] =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B \rightarrow C} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

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