Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \(C=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as famílias \,B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \,C=\{(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)\} são bases de \mathbb{R}^3 e, se forem, determinar a matriz de mudança de base
P_{B \rightarrow C}
tal que para todo vetor v em \mathbb{R}^3 vale
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}.
Vamos usar conceitos de linearidade: independência linear, determinante e expressão de vetores em coordenadas.
Passo 2
Verificamos primeiro que B é a base padrão de \mathbb{R}^3 (os vetores canônicos). Para C, montamos a matriz cujas colunas são os vetores de C:
Como o determinante é não nulo, C é também uma base.
Passo 3
Para achar P_{B\rightarrow C}\), lembramos que a coluna \(j\) de \(P\) é \([e_j]_{C}\), onde \(e_1,e_2,e_3\) são os vetores de \(B\).
1. Escrevemos
\[e_1=(1,0,0)=a_1(1,1,1)+b_1(1,0,0)+c_1(0,1,0).