Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} e \(C=\{(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)\}.

Passo 1

O enunciado pede para checar se
B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}
e
C=\{(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)\}
são bases de \mathbb{R}^3 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\rightarrow C} tal que
[v]_{C}=P_{B\rightarrow C}[v]_{B}.
O conteúdo é independência linear em \mathbb{R}^3 e coordenação de vetores em bases.

Passo 2

Para verificar que B é base, formamos a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica e calculamos o determinante:
M_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(M_B) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} -0\cdot\cdots +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =1\cdot1+1\cdot1=2\neq0,
logo os vetores de B são linearmente independentes e formam base.
Para C, a matriz é
M_C=\begin{pmatrix} 2&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 0&0&2 \end{pmatrix},
com \det(M_C)=8\neq0. Então C também é base.

Passo 3

Para achar P_{B\rightarrow C} usamos que suas colunas são as coordenadas dos vetores de B em relação à base C. Em C qualquer vetor (x,y,z) escreve-se como
(x,y,z)=\alpha(2,0,0)+\beta(0,2,0)+\gamma(0,0,2) \iff(x,y,z)=(2\alpha,2\beta,2\gamma),
logo \alpha=\tfrac{x}{2},\;\beta=\tfrac{y}{2},\;\gamma=\tfrac{z}{2}.
Para cada vetor de B:
b_1=(1,1,0)\implies[b_1]_{C}=\begin{pmatrix}1/2\\\ 1/2\\\ 0\end{pmatrix},\quad b_2=(0,1,1)\implies[b_2]_{C}=\begin{pmatrix}0\\\ 1/2\\\ 1/2\end{pmatrix},\quad b_3=(1,0,1)\implies[b_3]_{C}=\begin{pmatrix}1/2\\\ 0\\\ 1/2\end{pmatrix}.
Assim
P_{B\rightarrow C}=\bigl[[b_1]_{C}\;\big|\;[b_2]_{C}\;\big|\;[b_3]_{C}\bigr] =\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac12& 0 \\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\rightarrow C} =\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac12& 0 \\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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