Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} e \(C=\{(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)\}.
Passo 1
O enunciado pede para checar se
B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}
e
C=\{(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)\}
são bases de \mathbb{R}^3 e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de mudança de base P_{B\rightarrow C} tal que
[v]_{C}=P_{B\rightarrow C}[v]_{B}.
O conteúdo é independência linear em \mathbb{R}^3 e coordenação de vetores em bases.
Passo 2
Para verificar que B é base, formamos a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica e calculamos o determinante:
Para achar P_{B\rightarrow C} usamos que suas colunas são as coordenadas dos vetores de B em relação à base C. Em C qualquer vetor (x,y,z) escreve-se como