Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,-1,0),(0,1,2),(1,1,1)\} e \(C=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as coleções
B=\{(1,-1,0),\;(0,1,2),\;(1,1,1)\}
e
C=\{(1,1,0),\;(0,1,1),\;(1,0,1)\}
são bases de \mathbb{R}^3 e, caso sejam, determinar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_C = P_{B\to C}\,[v]_B.
Para isso vamos (1) checar se cada conjunto gera \mathbb{R}^3 e é linearmente independente, o que em \mathbb{R}^3 equivale a ter determinante não-nulo, e em seguida (2) expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C.

Passo 2

Verificação de que B é base. Formamos a matriz com colunas os vetores de B:
M_B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Calculemos
\det(M_B) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix} -0\cdot\bigl|\cdots\bigr| +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&2\end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-1\cdot2)+1\cdot(-1\cdot2-0\cdot1) =-1-2=-3\neq0.
Logo, B é linearmente independente e gera \mathbb{R}^3, ou seja, é base.

Passo 3

Verificação de que C é base. Formamos
M_C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_C) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} -0\cdot\bigl|\cdots\bigr| +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-1\cdot0) =1+1=2\neq0.
Portanto C também é base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Construção de P_{B\to C}\). A matriz \(P_{B\to C}\) tem como \(i\)-ésima coluna as coordenadas de \(b_i\in B\) na base \(C\). Começamos por \(b_1=(1,-1,0)\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1)=(1,-1,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\gamma=1,\\\ \alpha+\beta=-1,\\\ \beta+\gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação \beta=-\gamma\]. Substituindo na segunda, \(\alpha-\gamma=-1\implies\alpha=-1+\gamma. Na primeira, -1+\gamma+\gamma=1\implies2\gamma=2\implies\gamma=1. Logo \beta=-1 e \alpha=0. Assim
[b_1]_C=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora b_2=(0,1,2). Resolvendo
\alpha+\gamma=0,\quad \alpha+\beta=1,\quad \beta+\gamma=2
vemos que \alpha=-\gamma, \beta=1+\gamma e da terceira (1+\gamma)+\gamma=2\implies2\gamma=1\implies\gamma=\tfrac12. Então \alpha=-\tfrac12, \beta=\tfrac32. Logo
[b_2]_C=\begin{pmatrix}-\tfrac12\\tfrac32\\tfrac12\end{pmatrix}.

Passo 6

Finalmente b_3=(1,1,1). O sistema
\alpha+\gamma=1,\quad \alpha+\beta=1,\quad \beta+\gamma=1
\beta=\tfrac12, \gamma=\tfrac12, \alpha=\tfrac12. Assim
[b_3]_C=\begin{pmatrix}\tfrac12\\tfrac12\\tfrac12\end{pmatrix}.
Portanto,
P_{B\to C}=\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -1 & \tfrac32 & \tfrac12\\\\ 1 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Resposta

As duas coleções são bases de \mathbb{R}^3 e
P_{B\to C} =\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ -1 & \tfrac32 & \tfrac12\\\\ 1 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix},
de modo que [v]_C=P_{B\to C}[v]_B.

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