Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,-1,0),(0,1,2),(1,1,1)\} e \(C=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as coleções
B=\{(1,-1,0),\;(0,1,2),\;(1,1,1)\}
e
C=\{(1,1,0),\;(0,1,1),\;(1,0,1)\}
são bases de \mathbb{R}^3 e, caso sejam, determinar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_C = P_{B\to C}\,[v]_B.
Para isso vamos (1) checar se cada conjunto gera \mathbb{R}^3 e é linearmente independente, o que em \mathbb{R}^3 equivale a ter determinante não-nulo, e em seguida (2) expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C.
Passo 2
Verificação de que B é base. Formamos a matriz com colunas os vetores de B:
Construção de P_{B\to C}\). A matriz \(P_{B\to C}\) tem como \(i\)-ésima coluna as coordenadas de \(b_i\in B\) na base \(C\). Começamos por \(b_1=(1,-1,0)\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1)=(1,-1,0).
Da terceira equação \beta=-\gamma\]. Substituindo na segunda, \(\alpha-\gamma=-1\implies\alpha=-1+\gamma. Na primeira, -1+\gamma+\gamma=1\implies2\gamma=2\implies\gamma=1. Logo \beta=-1 e \alpha=0. Assim
vemos que \alpha=-\gamma, \beta=1+\gamma e da terceira (1+\gamma)+\gamma=2\implies2\gamma=1\implies\gamma=\tfrac12. Então \alpha=-\tfrac12, \beta=\tfrac32. Logo