Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(3,1,0),(1,2,1),(0,1,2)\} e \(C=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^3 e, caso sejam, encontrar a matriz de mudança de base P_{B \rightarrow C} tal que
[v]_{C} = P_{B \rightarrow C}[v]_{B}.
O conteúdo envolve os conceitos de base, determinante e matriz de mudança de base.

Passo 2

Verificamos se B é base montando a matriz cujas colunas são os vetores de B:
M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M) = 3\,(2\cdot2 - 1\cdot1) \;-\; 1\,(1\cdot2 - 1\cdot0) \;+\; 0 = 3\cdot3 - 1\cdot2 = 9 - 2 = 7 \neq 0.
Como \det(M)\neq 0, os vetores de B são linearmente independentes em \mathbb{R}^3 e, por serem três, formam uma base.

Passo 4

A base C = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é a base canônica de \mathbb{R}^3 e, portanto, também é base.

Passo 5

Para obter a matriz de mudança P_{B \rightarrow C}, usamos que suas colunas são as coordenadas em C dos vetores de B. Como C é canônica, cada vetor de B já está dado em coordenadas canônicas. Logo,
P_{B \rightarrow C} = \begin{pmatrix} \,[\,b_1\,]_C & [\,b_2\,]_C & [\,b_3\,]_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B \rightarrow C} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados