Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(3,1,0),(1,2,1),(0,1,2)\} e \(C=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^3 e, caso sejam, encontrar a matriz de mudança de base P_{B \rightarrow C} tal que
[v]_{C} = P_{B \rightarrow C}[v]_{B}.
O conteúdo envolve os conceitos de base, determinante e matriz de mudança de base.
Passo 2
Verificamos se B é base montando a matriz cujas colunas são os vetores de B:
Como \det(M)\neq 0, os vetores de B são linearmente independentes em \mathbb{R}^3 e, por serem três, formam uma base.
Passo 4
A base C = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é a base canônica de \mathbb{R}^3 e, portanto, também é base.
Passo 5
Para obter a matriz de mudança P_{B \rightarrow C}, usamos que suas colunas são as coordenadas em C dos vetores de B. Como C é canônica, cada vetor de B já está dado em coordenadas canônicas. Logo,