Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(1,2,3),(2,0,1),(0,1,1)\} e \(C=\{(1,1,1),(1,-1,0),(0,1,-1)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá os conjuntos
B=\{b_{1}=(1,2,3),\;b_{2}=(2,0,1),\;b_{3}=(0,1,1)\}\quad\text{e}\quad C=\{c_{1}=(1,1,1),\;c_{2}=(1,-1,0),\;c_{3}=(0,1,-1)\}
e pede para verificar se são bases de \mathbb{R}^3 e, em caso afirmativo, achar a matriz de mudança de base P_{B\to C} tal que
[v]_{C}=P_{B\to C}\,[v]_{B}.

Passo 2

Para ver se B é base, formamos a matriz cujas colunas são os vetores de B:
M_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(M_{B}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix} +0 =-1-2(-1)=1\neq0.
Logo \det(M_{B})\neq0, portanto B é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para ver se C é base, formamos a matriz cujas colunas são os vetores de C:
M_{C}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(M_{C}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} +0 =1-(-2)=3\neq0.
Logo \det(M_{C})\neq0, portanto C também é base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Para obter P_{B\to C}\), escrevemos cada vetor \(b_i\) de \(B\) como combinação linear de \(c_1,c_2,c_3\): \[x\,c_{1}+y\,c_{2}+z\,c_{3}=b_{i}.
Resolvendo para cada b_i obtemos:
  • Para b_{1}=(1,2,3): \begin{cases} x+y=1,\\\ x-y+z=2,\\\ x-z=3 \end{cases} \;\Longrightarrow\;(x,y,z)=(2,\,-1,\,-1).
  • Para b_{2}=(2,0,1)\]: \[\begin{cases} x+y=2,\\\ x-y+z=0,\\\ x-z=1 \end{cases} \;\Longrightarrow\;(x,y,z)=(1,\;1,\;0).\] - Para \[b_{3}=(0,1,1): \begin{cases} x+y=0,\\\ x-y+z=1,\\\ x-z=1 \end{cases} \;\Longrightarrow\;(x,y,z)=\Bigl(\tfrac23,\,-\tfrac23,\,-\tfrac13\Bigr).
Esses triplos são as colunas de (P_{B\to C}].

Resposta

Como \det(M_{B})\neq0 e \det(M_{C})\neq0, B e C são bases de \mathbb{R}^3 e
P_{B\to C}= \begin{pmatrix} 2 & 1 & \tfrac{2}{3}\\\\ -1 & 1 & -\tfrac{2}{3}\\\\ -1 & 0 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

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