Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado. R: y=\frac{1}{4-x^{2}}, x=0, x=1, y=0; E : eixo y
Passo 1
O enunciado define a região R limitada por \;y=\frac{1}{4-x^{2}},\;x=0,\;x=1,\;y=0
e pede o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo y.
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})(\text{altura})\,dx.
Passo 2
Para cada casca em x\in[0,1]:
o raio é x, distância até o eixo y;
a altura é y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}}=\frac{1}{4-x^{2}}-0.
Logo
dV = 2\pi\,x\cdot\frac{1}{4-x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad V = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}}\,dx.
Passo 3
Calculemos a integral
\int \frac{x}{4-x^{2}}\,dx.
Fazendo u = 4 - x^{2}, vem du = -2x\,dx e x\,dx = -\tfrac12\,du.
Assim,
\int \frac{x}{4-x^{2}}\,dx = -\tfrac12 \int \frac{1}{u}\,du = -\tfrac12 \ln\bigl|u\bigr| + C = -\tfrac12 \ln\bigl(4 - x^{2}\bigr) + C.