Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: y=\frac{1}{4-x^{2}}, x=0, x=1, y=0;
E : eixo y

Passo 1

O enunciado define a região R limitada por \;y=\frac{1}{4-x^{2}},\;x=0,\;x=1,\;y=0
e pede o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo y.
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula é
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})(\text{altura})\,dx.

Passo 2

Para cada casca em x\in[0,1]:
  • o raio é x, distância até o eixo y;
  • a altura é y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}}=\frac{1}{4-x^{2}}-0.
    Logo
dV = 2\pi\,x\cdot\frac{1}{4-x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad V = 2\pi \int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral
\int \frac{x}{4-x^{2}}\,dx.
Fazendo u = 4 - x^{2}, vem du = -2x\,dx e x\,dx = -\tfrac12\,du.
Assim,
\int \frac{x}{4-x^{2}}\,dx = -\tfrac12 \int \frac{1}{u}\,du = -\tfrac12 \ln\bigl|u\bigr| + C = -\tfrac12 \ln\bigl(4 - x^{2}\bigr) + C.

Passo 4

A integral definida fica
\int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac12 \ln(4 - x^{2})\Bigr]_{0}^{1} = -\tfrac12\ln(3) -\bigl(-\tfrac12\ln(4)\bigr) = \tfrac12\bigl(\ln(4)-\ln(3)\bigr) = \tfrac12\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \tfrac12 \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) = \pi \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Resposta

V = \pi \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

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