Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: \quad x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1;
E : eixo x

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{\tfrac{2}{3}} + y^{\tfrac{2}{3}} = 1
que, no primeiro quadrante, junto com os eixos, limita a região R. Queremos o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x. O método dos discos circulares pede expressar y como função de x, montar
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl(y(x)\bigr)^2 \,dx
e calcular essa integral.

Passo 2

Isolamos y. Da equação
x^{\tfrac{2}{3}} + y^{\tfrac{2}{3}} = 1
vem
y^{\tfrac{2}{3}} = 1 - x^{\tfrac{2}{3}} \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(1 - x^{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}.
O domínio em x vai de 0 a 1.

Passo 3

Pelo método dos discos, o raio do disco em abscissa x é y(x). Logo
V = \pi \int_{0}^{1} \Bigl[(1 - x^{\tfrac{2}{3}})^{\tfrac{3}{2}}\Bigr]^{2} dx = \pi \int_{0}^{1} (1 - x^{\tfrac{2}{3}})^{3} \,dx.

Passo 4

Para calcular
I = \int_{0}^{1} (1 - x^{\tfrac{2}{3}})^{3} \,dx
faze-se a mudança de variável
t = x^{\tfrac{2}{3}}, \quad x = t^{\tfrac{3}{2}}, \quad dx = \tfrac{3}{2}\,t^{\tfrac{1}{2}}\,dt, \quad t\in[0,1].
Então
I = \int_{0}^{1} (1 - t)^{3} \cdot \tfrac{3}{2}\,t^{\tfrac{1}{2}}\,dt = \tfrac{3}{2}\,\mathrm{B}\bigl(\tfrac{3}{2},4\bigr),
onde \mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}. Calcula-se
\mathrm{B}\bigl(\tfrac{3}{2},4\bigr) = \frac{\Gamma(\tfrac{3}{2})\,\Gamma(4)}{\Gamma(\tfrac{11}{2})} = \frac{\tfrac{\sqrt\pi}{2}\cdot 6}{\Gamma(\tfrac{11}{2})} \quad\text{e}\quad \Gamma\bigl(\tfrac{11}{2}\bigr)=\frac{945}{32}\sqrt\pi.
Assim
I = \tfrac{3}{2}\,\frac{3\sqrt\pi}{\tfrac{945}{32}\sqrt\pi} = \frac{16}{105}.

Passo 5

Portanto o volume é
V = \pi \,I = \pi \,\frac{16}{105} = \frac{16\pi}{105}.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{105}

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