Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: y=x^{2}, x=y^{2};
E: reta x=-2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta E\colon x=-2, usando o método das cascas cilíndricas. A região R é delimitada pelas curvas
y = x^{2}
e
x = y^{2}\,.
Vamos precisar:
– Encontrar os pontos de interseção de y=x^{2} e x=y^{2}.
– Expressar a altura de cada casca como a diferença entre as curvas em função de x.
– Determinar o raio de cada casca em relação a x=-2.
– Montar e calcular a integral de 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx de x=0 a x=1.

Passo 2

Para achar as interseções, substituímos y=x^{2} em x=y^{2}, obtendo
x = \bigl(x^{2}\bigr)^{2} = x^{4}
x^{4} - x = 0
x\,(x^{3}-1)=0
Assim, x=0 ou x^{3}=1\implies x=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

No intervalo 0\le x\le1, a curva x=y^{2} y=\sqrt{x} (ramo não-negativo) que é o “topo” de R, e y=x^{2} é o “fundo”. Logo a altura de cada casca é
\text{altura} = \sqrt{x} - x^{2}\,.

Passo 4

O método das cascas cilíndricas para rotação em torno de uma reta vertical x=a usa a fórmula
V = 2\pi \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} (\text{raio})(\text{altura}) \,dx.
Aqui, a=-2, então o raio de uma casca em x é
\text{raio} = x - (-2) = x + 2.

Passo 5

Substituindo raio e altura, o volume fica
V = 2\pi \int_{0}^{1} (x+2)\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx.
Expandindo o integrando:
(x+2)\bigl(x^{1/2}-x^{2}\bigr) = x^{3/2} - x^{3} + 2\,x^{1/2} - 2\,x^{2}.

Passo 6

Calculamos a integral termo a termo:
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{1}=\frac{2}{5},
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{4},
\int_{0}^{1} 2\,x^{1/2}\,dx = \frac{4}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{1}=\frac{4}{3},
\int_{0}^{1} 2\,x^{2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Somando os resultados no integrando:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2} - x^{3} + 2\,x^{1/2} - 2\,x^{2}\bigr)dx = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{49}{60}.

Passo 8

Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \frac{49}{60} = \frac{49\pi}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{49\pi}{30}

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