Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado. R: y=x^{2}, x=y^{2}; E: reta x=-2
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta E\colon x=-2, usando o método das cascas cilíndricas. A região R é delimitada pelas curvas
y = x^{2}
e
x = y^{2}\,.
Vamos precisar:
– Encontrar os pontos de interseção de y=x^{2} e x=y^{2}.
– Expressar a altura de cada casca como a diferença entre as curvas em função de x.
– Determinar o raio de cada casca em relação a x=-2.
– Montar e calcular a integral de 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dx de x=0 a x=1.
Passo 2
Para achar as interseções, substituímos y=x^{2} em x=y^{2}, obtendo
x = \bigl(x^{2}\bigr)^{2} = x^{4}
x^{4} - x = 0
x\,(x^{3}-1)=0
Assim, x=0 ou x^{3}=1\implies x=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
Passo 3
No intervalo 0\le x\le1, a curva x=y^{2} dá y=\sqrt{x} (ramo não-negativo) que é o “topo” de R, e y=x^{2} é o “fundo”. Logo a altura de cada casca é
\text{altura} = \sqrt{x} - x^{2}\,.
Passo 4
O método das cascas cilíndricas para rotação em torno de uma reta vertical x=a usa a fórmula
V = 2\pi \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} (\text{raio})(\text{altura}) \,dx.
Aqui, a=-2, então o raio de uma casca em x é
\text{raio} = x - (-2) = x + 2.
Passo 5
Substituindo raio e altura, o volume fica
V = 2\pi \int_{0}^{1} (x+2)\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx.