Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: x=y^{2}, x=0, y=1;
E: reta y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região R, limitada por x=y^2, x=0 e y=1, em torno da reta y=2. Para isso vamos aplicar o método das cascas cilíndricas, que, para rotação em torno de uma reta horizontal, usa fatias horizontais de espessura dy.

Passo 2

Considere uma fatia horizontal em altura y. Essa fatia vai de x=0 até x=y^2, logo sua “altura” (ou comprimento) é
h = y^2 - 0 = y^2.
Ao girar essa fatia em torno de y=2, forma-se uma casca cilíndrica de raio
\rho = 2 - y,
e espessura dy. Segundo o método das cascas, o elemento de volume é
dV = 2\pi\,\rho\,h\,dy = 2\pi\,(2-y)\,y^2\,dy.
Os valores de y variam desde o ponto em que x=y^2 cruza x=0 (isto é, y=0) até y=1.

Passo 3

O volume total é a integral das cascas de y=0 a y=1:
V = 2\pi \int_{0}^{1} (2-y)\,y^2\,dy = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(2y^2 - y^3\bigr)\,dy = 2\pi \Bigl[\tfrac{2}{3}y^3 - \tfrac{1}{4}y^4\Bigr]_{0}^{1} = 2\pi\Bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{4}\Bigr) = 2\pi\cdot \tfrac{5}{12} = \tfrac{5\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{6}

Exercícios relacionados