Exercício 8. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta :
Se A^{2}=\overline{0} então A=\overline{0};

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz A, se
A^2 = \overline{0}
então A=\overline{0}.
O conteúdo aqui é sobre matrizes nilpotentes e veremos se toda matriz de quadrado nulo é necessariamente a matriz nula.

Passo 2

Vamos construir um contraexemplo numa matriz 2\times2. Considere
A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\[6pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculemos o quadrado dessa matriz:
A^2 =\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0\\[6pt] 0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} =\overline{0}.]

Passo 4

Embora A^2=\overline{0}, a própria matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
não é a matriz nula, pois o elemento (1,2) vale 1\neq0. Isso mostra que existe matriz não-nula cujo quadrado é nulo.

Resposta

Falso. Existe matriz A\neq\overline{0} tal que A^2=\overline{0}, por exemplo a do Passo 2.

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