calcule a área da região R descrita.
R é a região delimitada pelos gráficos de y=\operatorname{sen} x e y=-\operatorname{sen} 2 x ; 0 \leq x \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y = \sin x \quad\text{e}\quad y = -\sin2x
no intervalo 0 \le x \le \pi.
Para encontrar essa área, vamos:
  1. Determinar os pontos de interseção de \sin x e -\sin2x.
  2. Verificar, em cada subintervalo, qual função fica por cima.
  3. Integrar a diferença entre as duas curvas em cada subintervalo.

Passo 2

Procuramos x tais que
\sin x = -\sin2x \;\Longrightarrow\; \sin x + \sin2x = 0 \;\Longrightarrow\; \sin x\,(1 + 2\cos x)=0.
Logo as soluções em [0,\pi] são
x = 0,\quad \cos x = -\tfrac12\;\Longrightarrow\;x=\tfrac{2\pi}{3}, \quad x = \pi.

Passo 3

Defina f(x)=\sin x+\sin2x.
  • Em 0<x<\tfrac{2\pi}{3}, por exemplo em x=\tfrac{\pi}{2}, tem-se f>0, ou seja \sin x>-\sin2x.
  • Em \tfrac{2\pi}{3}<x<\pi, por exemplo em x=\tfrac{3\pi}{4}, tem-se f<0, ou seja -\sin2x>\sin x.

Passo 4

A área é a soma de duas integrais, trocando a ordem das curvas conforme o intervalo:
A =\int_{0}^{2\pi/3}\bigl[\sin x - (-\sin2x)\bigr]\,dx +\int_{2\pi/3}^{\pi}\bigl[(-\sin2x)-\sin x\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculemos cada parcela:
I_1 =\int_{0}^{2\pi/3}(\sin x+\sin2x)\,dx =\Bigl[-\cos x-\tfrac{\cos2x}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi/3} =\Bigl(\tfrac34\Bigr)-\Bigl(-\tfrac32\Bigr) =\tfrac{9}{4},
I_2 =\int_{2\pi/3}^{\pi}(-\sin x-\sin2x)\,dx =-\int_{2\pi/3}^{\pi}(\sin x+\sin2x)\,dx =\Bigl[\cos x+\tfrac{\cos2x}{2}\Bigr]_{2\pi/3}^{\pi} =\Bigl(-\tfrac12\Bigr)-\Bigl(-\tfrac34\Bigr) =\tfrac{1}{4}.
Portanto
A=I_1+I_2=\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{5}{2}.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \tfrac{5}{2}.

Exercícios relacionados